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小第436行：
第436行： − 定义5（一个过程的因果态）一个过程的因果态是一系列函数ε的成员，ε将S<-映射到2S<-——S<-的幂集：+ 第446行：
第446行： − 可替换的也是等价的，我们可以定义等价关系〜ϵ如两段历史是等价的当且仅当它们拥有相同的未来条件分布，并且定义因果态为由〜ε生成的等价类。（实际上，这是文献【6】的原始方法。）不管什么方法，S<-的这种划分的切分由区域建成，这些区域使我们在不同条件下对未来有一些无知。 + 第474行：
第474行： − + 第493行：
第493行： − + 第502行：
第502行： − + − QED.+
完善因果态映射定义
=== A.因果态 ===
=== A.因果态 ===
定义5（一个过程的因果态）一个过程的因果态是一系列函数ϵ的成员，<math>ϵ : \overset{\leftarrow}{\mathbf{S}} \mapsto 2^{\overset{\leftarrow}{\mathbf{S}}}</math>——<math>\overset{\leftarrow}{\mathbf{S}} </math>的幂集：
<math>
<math>
S的基数没有特别说明。S可以是有限的，可数无限的，一个连续体，一个康托集，或一些奇异定格。这些例子在参考文献【5】和【10】中给出；特别查阅那里给出的隐马尔可夫模型的例子。
S的基数没有特别说明。S可以是有限的，可数无限的，一个连续体，一个康托集，或一些奇异定格。这些例子在参考文献【5】和【10】中给出；特别查阅那里给出的隐马尔可夫模型的例子。
可替换的也是等价的，我们可以定义等价关系<math>〜_ϵ</math>如两段历史是等价的当且仅当它们拥有相同的未来条件分布，并且定义因果态为由<math>〜_ϵ</math>生成的等价类。（实际上，这是文献【6】的原始方法。）不管什么方法，S<-的这种划分的切分由区域建成，这些区域使我们在不同条件下对未来有一些无知。
最后的陈述建议了另一种，仍然等价，对ϵ的描述：
最后的陈述建议了另一种，仍然等价，对ϵ的描述：
每一个因果态拥有独特的变体，比如，没有两个因果态拥有对未来相同的条件分布。这条直接来自定义5，而且它一般不是实际状态。另一个定义的直接结果是
每一个因果态拥有独特的变体，比如，没有两个因果态拥有对未来相同的条件分布。这条直接来自定义5，而且它一般不是实际状态。另一个定义的直接结果是
P(S->=s->|S=ε(s<-)) = P(S->=s->|S<- = s<-). (18)
P(S->=s->|S=ϵ(s<-)) = P(S->=s->|S<- = s<-). (18)
(再一次，这点对实际状态通常不是真的。)这种观测让我们证明一个有用的引理，关于过去S<-和未来S->条件无关。
(再一次，这点对实际状态通常不是真的。)这种观测让我们证明一个有用的引理，关于过去S<-和未来S->条件无关。
= P(S->=s->|S = ρ, S<- = s<-)P(S = ρ|S<- = s<-)P(S<-=s<-).
= P(S->=s->|S = ρ, S<- = s<-)P(S = ρ|S<- = s<-)P(S<-=s<-).
现在，P(S = ρ|S<- = s<-) = 0, 直到ρ = ε(s<-), 在这种情况P(S = ρ| S<- = s<-) = 1. 每种情况，在等式(21)最后一行前面两个因子可以写成等式（18），
现在，P(S = ρ|S<- = s<-) = 0, 直到ρ = ϵ(s<-), 在这种情况P(S = ρ| S<- = s<-) = 1. 每种情况，在等式(21)最后一行前面两个因子可以写成等式（18），
P(S->=s->|S=ρ, S<-=s<-)P(S=ρ|S<-=s<-)
P(S->=s->|S=ρ, S<-=s<-)P(S=ρ|S<-=s<-)
P(S<-=s<-, S=ρ, S->=s->)
P(S<-=s<-, S=ρ, S->=s->)
=P(S->=s->|S = ρ)P(S = ρ| S<- = s<-) P(S<- = s<-). (23)
=P(S->=s->|S = ρ)P(S = ρ| S<- = s<-) P(S<- = s<-). (23)
证毕。
2.同质性
2.同质性