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因果涌现 (查看源代码)

2024年8月25日 (日) 15:36的版本

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第127行：第127行：

Erik Hoel的因果涌现理论存在着需要指定粗粒化策略的问题，Rosas的信息分解理论并没有完全解决，因此，[[张江]]等人进一步提出了<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于奇异值分解和动力学近似可逆性的因果涌现理论。

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给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，我们可以对它进行[[奇异值分解]]~~，得到两个正交且的归一化矩阵~~<math>U</math>和<math>V</math>,和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]~~为P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，N为P的状态数量。~~

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给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，我们可以对它进行[[奇异值分解]]，得到两个正交且归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>,和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]为<math>P</math>的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，<math>N</math>为<math>P</math>的状态数量。

我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量，即：

第136行：第136行：

这里，[math]\alpha\in(0,2)[/math]为一个指定的参数，它起到让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够更多地反映[[确定性]]还是[[简并性]]这样一种权重或倾向性。通常情况下，我们取[math]\alpha=1[/math]，这可以让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够在确定性与简并性之间达到一种平衡。

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~~此外，文献中作者证明了EI与~~[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：

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此外，文献中作者证明了<math>EI</math>与[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：

<math>

第154行：第154行：

[[文件:Gamma例子.png|居左|400x400像素|<math>EI</math>与<math>\Gamma</math>对比]]

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~~文中作者通过实例对比了状态转移矩阵的P，~~<math>EI</math>和<math>\Gamma_{1}</math>。对比图a，b，我们发现对于不同的状态转移矩阵，<math>EI</math>降低的时候，<math>\Gamma_1</math>也同步降低。进一步，图c和d是对比粗粒化前后的效果，其中图d是对图c状态转移矩阵的粗粒化（将前三个状态归并为一个宏观态）。由于宏观状态转移矩阵图d是一个[[确定性系统]]，因此，归一化后的EI，<math>eff\equiv EI/\log N</math>和归一化后的[math]\Gamma_1[/math]：<math>\gamma_1\equiv \Gamma_1/N</math>都达到了最大值1。

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文中作者通过实例对比了状态转移矩阵的<math>EI</math>和<math>\Gamma_{1}</math>。对比图a，b，我们发现对于不同的状态转移矩阵，<math>EI</math>降低的时候，<math>\Gamma_1</math>也同步降低。进一步，图c和d是对比粗粒化前后的效果，其中图d是对图c状态转移矩阵的粗粒化（将前三个状态归并为一个宏观态）。由于宏观状态转移矩阵图d是一个[[确定性系统]]，因此，归一化后的EI，<math>eff\equiv EI/\log N</math>和归一化后的[math]\Gamma_1[/math]：<math>\gamma_1\equiv \Gamma_1/N</math>都达到了最大值1。

====动力学解耦（Dynamic independence）====

相信未来

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