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[[Erik Hoel的因果涌现理论]]存在着需要事先指定粗粒化策略的问题，Rosas的信息分解理论并没有完全解决该问题，因此，[[张江]]等人进一步提出了<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解的因果涌现理论]]。

[[Erik Hoel的因果涌现理论]]存在着需要事先指定粗粒化策略的问题，Rosas的信息分解理论并没有完全解决该问题，因此，[[张江]]等人进一步提出了<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解的因果涌现理论]]。

=====马尔科夫链的奇异值分解=====

=====马尔科夫链的奇异值分解=====

给定一个系统的[[马尔科夫转移矩阵]]<math>P</math>，我们可以对它进行[[奇异值分解]]，得到两个正交且归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>，和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]为<math>P</math>的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，<math>N</math>为<math>P</math>的状态数量。

给定一个系统的[[马尔科夫转移矩阵]]<math>P</math>，我们可以对它进行[[奇异值分解]]，得到两个正交且归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>，和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]为<math>P</math>的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，<math>N</math>为<math>P</math>的状态数量。

我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和（也称为矩阵的[math]\alpha[/math]阶[[Schatten范数]]）定义为马尔科夫链的[[近似动力学可逆性]]度量，即：

我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量，即：

<math>

<math>

\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}

\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}

</math>

</math>

而且，在一定程度上可以用[math]\Gamma_{\alpha}[/math]替代EI对马尔科夫链的因果效应程度进行度量。

而且，在一定程度上可以用[math]\Gamma_{\alpha}[/math]替代EI对马尔科夫链的因果效应程度进行度量。因此，所谓的因果涌现也可以被理解为一种'''动力学可逆性的涌现'''。

=====无需粗粒化的因果涌现量化=====

=====无需粗粒化的因果涌现量化=====

如果<math>P</math>的秩为<math>r</math>，即从第<math>r+1</math>个奇异值开始，奇异值都为0，则我们称动力学<math>P</math>存在着'''清晰的因果涌现'''（Clear Causal Emergence），并且因果涌现的数值为：<math>

然而，该理论的最大价值在于无需粗粒化策略，就可以直接量化涌现。如果<math>P</math>的秩为<math>r</math>，即从第<math>r+1</math>个奇异值开始，奇异值都为0，则我们称动力学<math>P</math>存在着'''清晰的因果涌现'''（Clear Causal Emergence），并且因果涌现的数值为：

 

<math>

\Delta \Gamma_{\alpha} =  \Gamma_{\alpha}(1/r-1/N)

\Delta \Gamma_{\alpha} =  \Gamma_{\alpha}(1/r-1/N)

</math>

</math>

如果矩阵<math>P</math>满秩，但是对于任意给定的小数<math>\epsilon</math>，存在<math>r_{\epsilon}</math>，使得从<math>r_{\epsilon}+1</math>开始，所有的奇异值都小于<math>\epsilon</math>，则称系统存在着程度的'''模糊的因果涌现'''（Vague Causal Emergence），且因果涌现的数值为：<math>\Delta \Gamma_{\alpha}(\epsilon) =  \frac{\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i}^{\alpha}}{r} -  \frac{\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{\alpha}}{N} </math>

如果矩阵<math>P</math>满秩，但是对于任意给定的小数<math>\epsilon</math>，存在<math>r_{\epsilon}</math>，使得从<math>r_{\epsilon}+1</math>开始，所有的奇异值都小于<math>\epsilon</math>，则称系统存在着程度的'''模糊的因果涌现'''（Vague Causal Emergence），且因果涌现的数值为：

 

<math>\Delta \Gamma_{\alpha}(\epsilon) =  \frac{\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i}^{\alpha}}{r} -  \frac{\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{\alpha}}{N} </math>

总结来看，该定量化因果涌现的方法的好处在于，它可以不依赖于具体的粗粒化策略，因而可以更加客观地量化因果涌现。该方法的缺点是，若要计算[math]\Gamma_{\alpha}[/math]，需要事先对<math>P</math>进行[[SVD分解]]，因而计算复杂度为[math]O(N^3)[/math]，因而比<math>EI</math>的计算复杂度高。而且，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]不能显式地分解为确定度和简并度两个分量。

总结来看，该定量化因果涌现的方法的好处在于，它可以不依赖于具体的粗粒化策略，因而可以更加客观地量化因果涌现。该方法的缺点是，若要计算[math]\Gamma_{\alpha}[/math]，需要事先对<math>P</math>进行[[SVD分解]]，因而计算复杂度为[math]O(N^3)[/math]，比<math>EI</math>的计算复杂度高。而且，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]不能显式地分解为确定度和简并度两个分量。

=====具体实例=====

=====具体实例=====