更改

在这种背景下，因果涌现被理解为在马尔可夫动力系统中，先前时刻和后续时刻变量之间的协同效应。然后，Rosas在<math> \Phi ID </math>框架中进一步将因果涌现分为两个部分，向下因果性和因果解耦，这是基于信息原子的不同特征。通过使用<math> \Phi ID </math>分解互信息<math> I(X_{t}; X_{t+1}) </math>得到的十六个信息原子中，有四个信息原子对应于协同效应，这被视为因果涌现的组成。这些原子表示为，其中<math>\alpha \in  A = \{\{\{1\}\{2\}\}, \{1\}, \{2\}, \{12\}\} </math>。

在这种背景下，因果涌现被理解为在马尔可夫动力系统中，先前时刻和后续时刻变量之间的协同效应。然后，Rosas在<math> \Phi ID </math>框架中进一步将因果涌现分为两个部分，向下因果性和因果解耦，这是基于信息原子的不同特征。通过使用<math> \Phi ID </math>分解互信息<math> I(X_{t}; X_{t+1}) </math>得到的十六个信息原子中，有四个信息原子对应于协同效应，这被视为因果涌现的组成。这些原子表示为，其中<math>\alpha \in  A = \{\{\{1\}\{2\}\}, \{1\}, \{2\}, \{12\}\} </math>。

此外，Rosas还提供了一种量化特定宏观变量（即粗粒化策略）因果涌现的方法。如果一个系统具有产生因果涌现的能力，那么它可能会有一些表现出因果涌现的宏观特征。如果一个特征变量V在系统在时间t的完整状态X已知且精确度完美的情况下，对于时间t+1的未来状态没有提供任何预测能力，那么这个特征变量V被认为是依赖于底层系统的。这等同于Vt在给定Xt的情况下与Xt+1统计独立。然后，对于由Xt描述的系统，如果一个依赖特征Vt表现出因果作用，当且仅当：
<math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) > 0 </math>。

此外，Rosas还提供了一种量化特定宏观变量（即粗粒化策略）因果涌现的方法。如果一个系统具有产生因果涌现的能力，那么它可能会有一些表现出因果涌现的宏观特征。如果一个特征变量V在系统在时间t的完整状态X已知且精确度完美的情况下，对于时间t+1的未来状态没有提供任何预测能力，那么这个特征变量V被认为是依赖于底层系统的。这等同于<math>V_t</math> 在给定<math>X_{t}</math>的情况下与<math>X_{t+1}</math> 统计独立。然后，对于由Xt描述的系统，如果一个依赖特征Vt表现出因果作用，当且仅当：
<math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) > 0 </math>。

 

对于这个定义，系统的因果涌现能力是必需的，其中 <math> \text{Syn}(X_{t}; X_{t+1}) > 0 </math> ，因为对于任何超涌现特征 Vt，都有 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) \leq \text{Syn}(X_{t}; X_{t+1}) </math>成立。对应于系统能力的分类，当 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) > 0 </math>或者 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t}^{2} + 1 \mid X_{t}) > 0 </math>时，特征变量 V 存在向下的因果作用。

 

 

尽管提出了因果涌现的严格定量定义，但<math> \Phi ID </math>可能很复杂且计算量很大，因此很难将该方法应用于实际系统。此外，PID 计算的不一致性导致因果涌现的定义依赖于特定的 PID 计算。

尽管提出了因果涌现的严格定量定义，但<math> \Phi ID </math>可能很复杂且计算量很大，因此很难将该方法应用于实际系统。此外，PID 计算的不一致性导致因果涌现的定义依赖于特定的 PID 计算。

三个指标如下：

三个指标如下：

1. <math> \Psi_{t, t+1}(V) := I(V_{t}; V_{t+1}) - \sum_{j} I(X_{tj}; V_{t+1}) </math>，这个指标衡量的是两个时间步长之间宏观变量的互信息减去每个微观状态与宏观状态之间的互信息。

1. <math> \Psi_{t, t+1}(V) := I(V_{t}; V_{t+1}) - \sum_{j} I(X_{t}^j; V_{t+1}) </math>，这个指标衡量的是两个时间步长之间宏观变量的互信息减去每个微观状态与宏观状态之间的互信息。

2. <math> \Delta_{t, t+1}(V) := \max_{j} I(V_{t}; X_{t+1}^j) - \sum_{i} I(X_{t}^i; X_{t+1}^j) </math>，这个指标是<math>V_t</math>与<math>X_{t+1}^j</math>之间互信息的最大值与<math>X_{t}^i</math>与<math>X_{t+1}^j</math>之间互信息总和之间的差的最大值。

2. <math> \Delta_{t, t+1}(V) := \max_{j} I(V_{t}; X_{t+1}^j) - \sum_{i} I(X_{t}^i; X_{t+1}^j) </math>，这个指标是<math>V_t</math>与<math>X_{t+1}^j</math>之间互信息的最大值与<math>X_{t}^i</math>与<math>X_{t+1}^j</math>之间互信息总和之间的差的最大值。

[[文件:因果解耦以及向下因果例子1.png|500x500像素|因果解耦以及向下因果例子|链接=https://wiki.swarma.org/index.php/%E6%96%87%E4%BB%B6:%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E8%A7%A3%E8%80%A6%E4%BB%A5%E5%8F%8A%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E4%BE%8B%E5%AD%901.png]]

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文<ref name=":5" />中作者列举了一个具体的例子(如上式），来说明什么时候发生[[因果解耦]]、[[向下因果]]以及[[因果涌现]]。该例子是一个特殊的马尔科夫过程，这里，<math>p_{X_{t+1}|X_t}(x_{t+1}|x_t)</math>表示动力学关系，<math>X_t=(x_t^1,…,x_t^n )\in \left\{0,1\right\}^n </math>为微观态。该过程的定义是通过检查前后两个时刻的变量[math]x_t[/math]和[math]x_{t+1}[/math]的取值，也就是判断[math]x_t[/math]的所有维度模2求和是否与[math]x_{t+1}[/math]的第一个维度相同来确定下一时刻状态[math]x_{t+1}[/math]取不同数值概率的：如果不同，则概率取0；否则则再判断[math]x_t,x_{t+1}[/math]在所有维度上是否都有相同的模2和，如果两个条件都满足，则取值概率为[math]\gamma/2^{n-2}[/math]，否则取值概率为[math](1-\gamma)/2^{n-2}[/math]。这里[math]\gamma[/math]为一个参数，[math]n[/math]为x的总维度。

文<ref name=":5" />中作者列举了一个具体的例子(如上式），来说明什么时候发生[[因果解耦]]、[[向下因果]]以及[[因果涌现]]。该例子是一个特殊的马尔科夫过程，这里，<math>p_{X_{t+1}|X_t}(x_{t+1}|x_t)</math>表示动力学关系，<math>X_t=(x_t^1,…,x_t^n )\in \left\{0,1\right\}^n </math>为微观态。该过程的定义是通过检查前后两个时刻的变量<nowiki><math>x_t[/math]和[math]x_{t+1}[/math]的取值，也就是判断[math]x_t[/math]的所有维度模2求和是否与[math]x_{t+1}[/math]的第一个维度相同来确定下一时刻状态[math]x_{t+1}[/math]取不同数值概率的：如果不同，则概率取0；否则则再判断[math]x_t,x_{t+1}[/math]在所有维度上是否都有相同的模2和，如果两个条件都满足，则取值概率为[math]\gamma/2^{n-2}[/math]，否则取值概率为[math](1-\gamma)/2^{n-2}[/math]。这里[math]\gamma[/math]为一个参数，[math]n[/math]为x的总维度。</nowiki>

实际上，如果<math>\sum_{j=1}^n x^j_t</math>是偶数或者0时<math>\oplus^n_{j=1} x^j_t:=1</math>，反之<math>\oplus^n_{j=1} x^j_t:=0</math>，因此<math>\oplus^n_{j=1} x^j_t</math>的结果是X整体序列的奇偶性，而第一个维度则可以看作是一个奇偶校验位。<math>\gamma</math>实际上表示X序列某两个位产生了突变，并且该突变却能够保证整体序列的奇偶性不变，以及序列的奇偶校验位也符合序列整体的实际奇偶性的概率。

实际上，如果<math>\sum_{j=1}^n x^j_t</math>是偶数或者0时<math>\oplus^n_{j=1} x^j_t:=1</math>，反之<math>\oplus^n_{j=1} x^j_t:=0</math>，因此<math>\oplus^n_{j=1} x^j_t</math>的结果是X整体序列的奇偶性，而第一个维度则可以看作是一个奇偶校验位。<math>\gamma</math>实际上表示X序列某两个位产生了突变，并且该突变却能够保证整体序列的奇偶性不变，以及序列的奇偶校验位也符合序列整体的实际奇偶性的概率。