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因此，<math>\mathbf{M}\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}</math>，这说明 <math>\mathbf{u}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的单位长度特征向量。对 <math>\mathbf{M}</math> 的每个单位长度特征向量 <math>\mathbf{v}</math>，其特征值就是 <math>f(\mathbf{v})</math>，所以 <math>\lambda</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的最大特征值。在 <math>\mathbf{u}</math> 的正交补上重复这个过程，我们就能得到次大特征值，依此类推。

因此，<math>\mathbf{M}\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}</math>，这说明 <math>\mathbf{u}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的单位长度特征向量。对 <math>\mathbf{M}</math> 的每个单位长度特征向量 <math>\mathbf{v}</math>，其特征值就是 <math>f(\mathbf{v})</math>，所以 <math>\lambda</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的最大特征值。在 <math>\mathbf{u}</math> 的正交补上重复这个过程，我们就能得到次大特征值，依此类推。

复数厄米特情况的处理方法类似，只是此时 <math>f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^*\mathbf{M}\mathbf{x}</math> 变成了 2n 个实变量的实值函数。

复数厄米矩阵的情况，处理方法类似，只是此时 <math>f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^*\mathbf{M}\mathbf{x}</math> 变成了 2n 个实变量的实值函数。

奇异值的描述方法与特征值相似，我们可以用代数或变分原理来刻画它们。不过，与特征值不同，这里的 <math>\mathbf{M}</math> 不必是厄米特矩阵或对称矩阵。

奇异值的描述方法与特征值相似，我们可以用代数或变分原理来刻画它们。不过，与特征值不同，这里的 <math>\mathbf{M}</math> 不必是厄米矩阵或对称矩阵。

接下来，我们将从两个角度论证奇异值分解的存在性。

接下来，我们将从两个角度论证奇异值分解的存在性。