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==基于Lumpability的粗粒化方法（未给定lumpable partition的情况）==

==基于Lumpability的粗粒化方法（未给定lumpable partition的情况）==

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]

由上面的lumpability公式(4)和例子中我们能获得一个直观上的说法：当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几类的时候，根据这样的partition，该矩阵就会lumpable，如图6中的<math>\bar{P}</math>所示，把相同的状态（行向量）分成一类的partition显然lumpable。

由上面的lumpability公式(4)和例子中我们能获得一个直观上的说法：当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几类的时候，根据这样的partition，该矩阵就会lumpable，如图6中的<math>\bar{P}</math>所示，把相同的状态（行向量）分成一类的partition显然lumpable。

我们在实际问题中很多时候要面对的是像<math>P</math>这样的矩阵，我们既无法确定它是否lumpable，也无法决定它的partition，我们甚至不知道它的马尔科夫秩。

我们在实际问题中很多时候要面对的是像<math>P</math>这样的矩阵，我们既无法确定它是否lumpable，也无法决定它的partition，我们甚至不知道它的马尔科夫秩。

在这种情况下，Anru Zhang<ref name=":0" />的文章中提供了一种寻找最优partition的方法。通过此方法我们能找到最优的partition，代入这个partition我们就能通过上面的充分必要条件来决定一个马尔科夫矩阵是否lumpable。具体步骤如下：

在这种情况下，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":3" />的文章中提供了一种寻找最优partition的方法。通过此方法我们能找到最优的partition，代入这个partition我们就能通过上面的充分必要条件来决定一个马尔科夫矩阵是否lumpable。具体步骤如下：

#先获取一个n*n维的马尔科夫矩阵P，或者是马尔科夫链的频率采样；

#先获取一个n*n维的马尔科夫矩阵P，或者是马尔科夫链的频率采样；