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=== 最优粗粒化 ===

=== 最优粗粒化 ===

在一些动力学相对简单的系统中，有机会可以直接找出合适或最优的粗粒化方案，但在复杂网络中这是非常困难的。为此，Klein 等人<ref name="Klein"> Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>和 Griebenow <ref name="Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>等人提出算法尝试寻找复杂网络的最优粗粒化方案，自动识别复杂网络中因果涌现。其核心思路是将复杂网络上的随机游走模型视作一个马尔科夫链，使用包括[[贪婪算法]]、[[谱分解方法]]以及[[梯度下降]]方法对马尔科夫链进行粗粒化分组，三种方法最大的不同就在于节点分组方案。在如何归并节点和网络上，除了梯度下降方法以外，另外两种都采用了高阶依赖项建模（HOMs）处理手段，保证宏观网络与原微观网络具有相同的随机游走动力学特性。使用贪婪算法对节点进行分组，该方法将分组和归并合并在一起执行了，这对于大规模网络来说效率很低。后来提出的一种基于谱分解的方法来对原始网络节点进行分组，并将这种方法应用于偏好依附网络。相较于贪婪算法以及梯度下降算法，谱分解算法的计算时间更少，同时找到的宏观网络EI更大。算法的实现细节可参考[[复杂网络中的因果涌现]]。

在一些动力学相对简单的系统中，我们可以直接找出合适或最优的粗粒化方案，但在更复杂的系统中，包括复杂网络上，这是非常困难的。为此，Klein 等人<ref name="Klein"> Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>和 Griebenow <ref name="Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>等人提出了寻找复杂网络的最优粗粒化方案的不同方法。其核心思路是将复杂网络上的随机游走模型视作一个马尔科夫链，使用包括[[贪婪算法]]、[[谱分解方法]]以及[[梯度下降]]等方法对马尔科夫链进行粗粒化。关于复杂网络上的因果涌现以及粗粒化方案，具体可参考[[复杂网络中的因果涌现]]。

张江等人进一步提出了[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>，该理论克服因果涌现理论中需要预先指定粗粒化策略的限制，通过对系统的马尔科夫转移矩阵进行奇异值分解，计算奇异值的<math>\alpha</math>次方之和<math>\Gamma_{\alpha}</math>，从而量化系统的近似动力学可逆性。<math>\Gamma_{\alpha}</math>与有效信息EI近似相关，使其能够用来衡量因果效应程度，实现无需粗粒化的因果涌现量化。理论进一步区分了“清晰的因果涌现”和“模糊的因果涌现”，提供了一种更加客观的方法来评估系统的因果涌现程度，但也存在计算复杂度较高等问题。

[[张江]]等人进一步发现最大化宏观动力学的有效信息的一个必要条件是让向量化的粗粒化分组方案尽可能地与微观动力学TPM的最大奇异值对应的奇异向量平行，因此他们主张可以绕过最优粗粒化的搜寻操作，而重新建立一种因果涌现理论，即[[基于动力学可逆性的因果涌现]]理论<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>，该理论克服了因果涌现理论中需要预先指定粗粒化策略的限制，通过对系统的马尔科夫转移矩阵进行奇异值分解，计算奇异值，并由此定义系统的近似动力学可逆性指标<math>\Gamma_{\alpha}</math>（[math]\alpha[/math]为一参数）。进一步，作者们发现该指标与有效信息EI近似等价，因此也能够用来衡量系统的因果效应程度。理论进一步区分了“清晰的因果涌现”和“模糊的因果涌现”，提供了一种更加客观的方法来评估系统的因果涌现程度，但也存在计算复杂度较高等问题。

同时，值得指出的是，并不是任意的粗粒化方案都是良定义的。所谓的良定义是指，我们要求粗粒化后的TPM仍然是一个合法的TPM，而且粗粒化后的宏观动力学应该与微观动力学保持一致性——即先进行演化操作然后粗粒化和先进行粗粒化操作再演化应该得到一致的宏观态分布。通过最大化粗粒化后的TPM的有效信息这一方案，并不一定满足宏观TPM仍然是良定义的，因此，关于马尔科夫链粗粒化的方法存在着较大的争议。详见论文<ref name="Eberhardt">Eberhardt, F., & Lee, L. L. (2022). Causal emergence: When distortions in a map obscure the territory. Philosophies, 7(2), 30.</ref>以及[[因果涌现]]词条。更详细具体的描述，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。

同时，值得指出的是，并不是任意的粗粒化方案都是良定义的。所谓的良定义是指，我们要求粗粒化后的TPM仍然是一个合法的TPM，而且粗粒化后的宏观动力学应该与微观动力学保持一致性——即先进行演化操作然后粗粒化和先进行粗粒化操作再演化应该得到一致的宏观态分布。通过最大化粗粒化后的TPM的有效信息这一方案，并不一定满足宏观TPM仍然是良定义的，因此，关于马尔科夫链粗粒化的方法存在着较大的争议。详见论文<ref name="Eberhardt">Eberhardt, F., & Lee, L. L. (2022). Causal emergence: When distortions in a map obscure the territory. Philosophies, 7(2), 30.</ref>以及[[因果涌现]]词条。更详细具体的描述，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。