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<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 </math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

 

噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子，随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

== 算子性质 ==

== 算子性质 ==