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=== 统一的、无参数的生长曲线 ===

=== 统一的、无参数的生长曲线 ===

由于不同物种对应的方程（{{EquationNote|10}}）中的参数会不同，因此导致它们具有不同形状的生长曲线。为了消除这些差异，我们可以通过重新定义变量，从而将生长曲线归一化，从而得到一条统一的、无参数的生长曲线。

由于不同物种对应的方程（{{EquationNote|10}}）中的参数会不同，因此导致它们具有不同形状的生长曲线。为了消除这些差异，我们可以通过重新定义变量，从而将生长曲线归一化，以得到一条统一的、无参数的生长曲线。

通过将[math]b=a/M^{\frac{1}{4}}[/math]代回生长方程（{{EquationNote|10}}），可以得到了一个更具普遍性的形式：[math]\frac{dm}{dt} = am^{\frac{3}{4}}\left[1 - (\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}}\right]  [/math]。通过对这个微分方程进行积分，可以得到一个描述质量 m 随时间 t 变化的经典S形曲线方程：

通过将[math]b=a/M^{\frac{1}{4}}[/math]代回生长方程（{{EquationNote|10}}），可以得到一个更具普遍性的方程形式：[math]\frac{dm}{dt} = am^{\frac{3}{4}}\left[1 - (\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}}\right]  [/math]。通过对这个微分方程进行积分，可以得到描述质量[math]m[/math]随时间[math]t[/math]变化的经典S形曲线方程：

{{NumBlk|:|

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* 无量纲时间：<math>\tau \equiv \frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}} - \ln\left[1 - (\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}\right]</math>

* 无量纲时间：<math>\tau \equiv \frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}} - \ln\left[1 - (\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}\right]</math>

将这两个无量纲量带入[[韦斯特生长方程]]({{EquationNote|10}})，可以得到所有物种统一的普适生长方程(Universal Growth Equation)：

将这两个无量纲量带入[[韦斯特生长方程]]({{EquationNote|10}})，可以得到所有物种统一的生长方程(Universal Growth Equation)：

:<math>

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这表明，尽管物种大小差异巨大，它们的生长过程在能量分配和时间尺度上具有普适的内在规律。通过以无量纲质量比[math]r[/math]为纵坐标，无量纲时间[math]\tau[/math]为横坐标，重新将不同物种的生长曲线绘制在一起，可以得到一条普适的生长曲线（Universal Growth Curve）：

这表明，尽管物种大小差异巨大，它们的生长过程在能量分配和时间尺度上具有普适的内在规律。通过以无量纲质量比[math]r[/math]为纵坐标，无量纲时间[math]\tau[/math]为横坐标，重新将不同物种的生长曲线绘制在一起，可以得到一条普适的生长曲线（Universal Growth Curve）：

[[文件:通用的生物生长曲线.png|无|该图展示了通用的生长曲线。它绘制了无量纲质量比 [math]r = (\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}}  [/math]（横坐标） 与无量纲时间变量 [math]\tau = \frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} \ln[(\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}]  [/math]（纵坐标）的函数关系，从而得到了多个物种的统一生长曲线。该图涵盖了多种受限生长（determinate）和不受限生长（indeterminate）物种。当以这种方式绘制时，我们的模型预测所有生物的生长曲线都应该落在同一条没有参数的通用曲线 [math]r = 1-e^{-\tau}  [/math] 上（图中用实线表示）。该模型将 r 解释为用于维持生命和其他活动的'''代谢总功率'''的比例<ref name=":2" />。|缩略图|600x600像素]]

[[文件:通用的生物生长曲线.png|无|该图展示了通用的生长曲线。它绘制了无量纲质量比 [math]r = (\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}}  [/math]（横坐标） 与无量纲时间变量 [math]\tau = \frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} \ln[(\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}]  [/math]（纵坐标）的函数关系，从而得到了多个物种的统一生长曲线。其中[math]r[/math]可以理解为一种用于维持生命和其它活动的代谢总功率 <ref name=":2" />。该图涵盖了多种受限生长（determinate）和不受限生长（indeterminate）物种。当以这种方式绘制时，[[韦斯特生长方程]]预测所有生物的生长曲线都应该落在同一条没有参数的普适曲线 [math]r = 1-e^{-\tau}  [/math] 上（图中用实线表示）。|缩略图|600x600像素]]

== 城市生长方程 ==

== 城市生长方程 ==