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Koopman算子理论 (查看源代码)

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→‎残差DMD

第463行：第463行：

其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]。

−

将

+

将这里的Koopman矩阵的表达式带入到伪特征值的定义当中，经过一系列的推导，我们便可以得到伪特征值残差的表达式。给定<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对为 <math>(\lambda, \varphi) </math>：

−

+

:<math>\text{res}(\lambda, \varphi)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}.</math>

−

~~该问题的[[解析解]]就是我们要找的最优近似矩阵<math>K</math>，即：~~

−

，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），<math>\displaystyle{ \Psi_X }</math>和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>是把所有节点的特征映射向量堆叠起来形成的矩阵——简单说就是“每个行对应一个节点，每个列对应一个观测函数”，具体形式为：

−

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

−

所以，给定<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对为 <math>(\lambda, g) </math>，<math>\lambda \in \mathbb{C} </math>是候选[[特征值]]，<math>g = \Psi \xi \in V_{N}</math>是基于字典的候选[[特征函数]]。为了衡量这个候选特征对的“不靠谱程度”（也就是它偏离真实特征对的程度），我们定义特征值残差：

−

:<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}.</math>

其中<math>\overline{\lambda}, \overline{\xi}</math>分别表示共轭的特征值和特征函数组合系数。

Matthew

管理员

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