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洛伦兹方程 (查看源代码)

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第193行：第193行：

* 临界值 <math>r_c=\displaystyle\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：发生 Hopf 分岔

2） <math> C_+ = \left( \sqrt{b(r-1)},\ \sqrt{b(r-1)},\ r-1 \right)</math>：带入雅克比矩阵，根据“劳思-赫尔维茨稳定判据”，判定根的实部，可得以下结论

−

~~==== <math>C_+/C_-</math> 点稳定性分析 ====~~

* 当 <math>1 < r < \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：所有特征值实部 < 0，<math>C_+</math> 稳定。

* 当 <math>r = \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：特征值实部 = 0，存在一对纯虚特征值，<math>C_+</math> 发生霍普夫分岔。

* 当 <math>r > \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：特征值存在实部 > 0，<math>C_+</math> 不稳定，系统进入混沌。

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~~{| class="wikitable"~~

−

~~|+ <math>C_+/C_-</math> 稳定性与参数范围~~

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~~! 序号 !! 参数范围 !! 特征值性质 !! 稳定性与系统状态~~

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|-

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~~| 1 || <math>1 < r < \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math> || 所有特征值实部 < 0 || <math>C_+</math> 稳定~~

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~~| 2 || <math>r = \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math> || 一对纯虚特征值，其余实部 < 0 || <math>C_+</math> 发生霍普夫分岔~~

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|-

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~~| 3 || <math>r > \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math> || 存在特征值实部 > 0 || <math>C_+</math> 不稳定，系统进入混沌~~

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|}

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3） <math> C_- = \left( -\sqrt{b(r-1)},\ -\sqrt{b(r-1)},\ r-1 \right)</math>：带入雅克比矩阵，并判断雅克比矩阵特征值实部是否小于0，可得以下结论

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