1,068
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第8行：
第8行： − + − + − + − + − + − + − + − + 第34行：
第34行： − + 第43行：
第43行： − + 第53行：
第53行： − + − + 第67行：
第67行： − + 第73行：
第73行： − + 第79行：
第79行： − + − + − + − + 第98行：
第98行： − + 第112行：
第112行： − + 第126行：
第126行： − + 第168行：
第168行： − + 第203行：
第203行： − + 第219行：
第219行： − + 第225行：
第225行： − + − + − + − + 第248行：
第248行： − + 第289行：
第289行： − + 第315行：
第315行： − + 第325行：
第325行： − + 第332行：
第332行： − + 第351行：
第351行： − +
无编辑摘要
在物理学、数学和统计学中，'''Scale Invariance 标度不变性'''是物体或者物理定律的一种特征，如果长度、能量或者其他变量的标度与一个公因子相乘，而不发生改变，因此也就代表某种普遍性。
在物理学、数学和统计学中，'''标度不变性 Scale Invariance'''是物体或者物理定律的一种特征，如果长度、能量或者其他变量的标度与一个公因子相乘，而不发生改变，因此也就代表某种普遍性。
这种变换的专业名称是'''Dilatation 膨胀'''，膨胀也可以形成一个更大'''Conformal Symmetry 共形对称'''的一部分。
这种变换的专业名称是'''膨胀 Dilatation'''，膨胀也可以形成一个更大'''共形对称 Conformal Symmetry'''的一部分。
* 在数学中，标度不变性通常指单个函数或曲线的不变性。与此密切相关的概念是'''Self-similarity 自相似性'''，其中函数或曲线在膨胀的离散子集下是不变的。随机过程的概率分布也可能表现出这种标度不变性或自相似性。
* 在数学中，标度不变性通常指单个函数或曲线的不变性。与此密切相关的概念是'''自相似性 Self-similarity'''，其中函数或曲线在膨胀的离散子集下是不变的。随机过程的概率分布也可能表现出这种标度不变性或自相似性。
* 在'''Classical Field Theory 经典场论'''中，标度不变性最常用于整个理论在膨胀条件下的不变性。这些理论通常描述没有特征长度标度的经典物理过程。
* 在'''经典场论 Classical Field Theory'''中，标度不变性最常用于整个理论在膨胀条件下的不变性。这些理论通常描述没有特征长度标度的经典物理过程。
* 在'''Quantum Field Theory 量子场论'''中，标度不变性可以用粒子物理学来解释。在标度不变的理论中，粒子相互作用的强度并不取决于所涉及粒子的能量。
* 在'''量子场论 Quantum Field Theory'''中，标度不变性可以用粒子物理学来解释。在标度不变的理论中，粒子相互作用的强度并不取决于所涉及粒子的能量。
* 在'''Statistical Mechanics 统计力学'''中，标度不变性是相变的一个特征。在相变或临界点附近，在所有长度标度上都出现了波动，因此，人们应该寻找一个明确的标度不变的理论来描述这一关键现象。这些理论是标度不变的统计场理论，在形式上与标度不变的量子场理论非常相似。
* 在'''统计力学 Statistical Mechanics'''中，标度不变性是相变的一个特征。在相变或临界点附近，在所有长度标度上都出现了波动，因此，人们应该寻找一个明确的标度不变的理论来描述这一关键现象。这些理论是标度不变的统计场理论，在形式上与标度不变的量子场理论非常相似。
* '''Universality 普适性'''是指差异巨大的微观系统在相变时可以表现出相同的行为。因此，许多不同系统中的相变可以用相同的基本标度不变理论来描述。
* '''普适性 Universality'''是指差异巨大的微观系统在相变时可以表现出相同的行为。因此，许多不同系统中的相变可以用相同的基本标度不变理论来描述。
* 一般来说，无量纲量是标度不变量。统计学中的类似概念是'''Standardized Moments 标准化矩'''，它是变量的标度不变统计量，而非标准化矩不是。
* 一般来说，无量纲量是标度不变量。统计学中的类似概念是'''标准化矩 Standardized Moments'''，它是变量的标度不变统计量，而非标准化矩不是。
一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成
一个标度不变曲线的例子是'''对数螺线（等角螺线） Logarithmic Spiral'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成
:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln（r/a）~。</math>
:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln（r/a）~。</math>
=== 射影几何===
=== 射影几何===
单项式标度不变性的概念在高维时推广到'''Homogeneous Polynomial 齐次多项式'''，更一般地推广到'''Homogeneous Function 齐次函数'''。齐次函数是射影空间的“土著”，齐次多项式在射影几何中作为'''Projective Varieties 射影簇'''进行研究。射影几何是数学中一个内容特别丰富的领域；在其最抽象的形式——'''Schemes 概型'''的几何学中，它与'''String Theory 弦理论'''中的各种主题都有联系。
单项式标度不变性的概念在高维时推广到'''齐次多项式 Homogeneous Polynomial'''，更一般地推广到'''齐次函数 Homogeneous Function'''。齐次函数是射影空间的“土著”，齐次多项式在射影几何中作为'''射影簇 Projective Varieties'''进行研究。射影几何是数学中一个内容特别丰富的领域；在其最抽象的形式——'''概型Schemes'''的几何学中，它与'''弦理论 String Theory'''中的各种主题都有联系。
因此，以{{math|∆ {{=}} 1}}的'''Koch Curve 科赫雪花'''缩放为例，但是该缩放只适用于{{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}}，（{{mvar|n}}为整数）的值。此外，科赫雪花不仅在初始点，而且在某种意义上，在整条曲线上都可以找到其“缩影”。
因此，以{{math|∆ {{=}} 1}}的'''科赫雪花 Koch Curve'''缩放为例，但是该缩放只适用于{{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}}，（{{mvar|n}}为整数）的值。此外，科赫雪花不仅在初始点，而且在某种意义上，在整条曲线上都可以找到其“缩影”。
某些分形可能同时具有多个标度因子，可以应用'''Multi-Fractal Analysis 多重分形分析'''进行研究。
某些分形可能同时具有多个标度因子，可以应用'''多重分形分析 Multi-Fractal Analysis'''进行研究。
当{{mvar|Δ}}= 0时对应'''White noise 白噪声'''，{{mvar|Δ}}=-1时对应'''Pink noise 粉红噪声'''，{{mvar|Δ}}=-2时对应'''Brownian noise 布朗噪声'''（更一般的是'''Brownian motion 布朗运动'''）。
当{{mvar|Δ}}= 0时对应'''白噪声 White noise'''，{{mvar|Δ}}=-1时对应'''粉红噪声 Pink noise'''，{{mvar|Δ}}=-2时对应'''布朗噪声 Brownian noise'''（更一般的是'''布朗运动 Brownian motion'''）。
标度不变分布的例子还有'''Pareto distribution 帕累托分布'''和'''Zipfian distribution 齐夫分布'''。
标度不变分布的例子还有'''帕累托分布 Pareto distribution'''和'''齐夫分布 Zipfian distribution'''。
'''Tweedie分布'''是'''Exponential Dispersion Models 指数弥散模型'''的一种特殊情况，是一类用于描述广义线性模型误差分布的统计模型，在可加卷积和再生卷积以及标度变换下具有闭包性<ref name="Jørgensen1997">{{cite book |last=Jørgensen |first=B. |year=1997 |title=The Theory of Dispersion Models |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=978-0412997112 }}</ref>。这包括一些常见的分布：正态分布、'''Poisson distribution 泊松分布'''和'''Gamma Distribution 伽玛分布'''，以及其他一些非同寻常的分布，如复合泊松-伽玛分布、正稳定分布和极端稳定分布。由于它们固有的标度不变性，Tweedie随机变量 y 显示方差var（''Y''）与均值E（''Y''）之间服从幂律关系：
'''Tweedie分布'''是'''指数弥散模型 Exponential Dispersion Models'''的一种特殊情况，是一类用于描述广义线性模型误差分布的统计模型，在可加卷积和再生卷积以及标度变换下具有闭包性<ref name="Jørgensen1997">{{cite book |last=Jørgensen |first=B. |year=1997 |title=The Theory of Dispersion Models |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=978-0412997112 }}</ref>。这包括一些常见的分布：正态分布、'''泊松分布 Poisson distribution'''和'''伽玛分布 Gamma Distribution'''，以及其他一些非同寻常的分布，如复合泊松-伽玛分布、正稳定分布和极端稳定分布。由于它们固有的标度不变性，Tweedie随机变量 y 显示方差var（''Y''）与均值E（''Y''）之间服从幂律关系：
<math>\text{var}\,（Y） = a[\text{E}\,（Y）]^p</math>，
<math>\text{var}\,（Y） = a[\text{E}\,（Y）]^p</math>，
其中a和p是正常数。这种方差-均值的幂律关系在物理学文献中称为'''Fluctuation Scaling 涨落标度'''<ref name="Eisler2008">Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. （2008）. "Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond". ''Adv Phys''. '''57''' （1）: 89–142. arXiv:0708.2053. Bibcode:2008AdPhy..57...89E. doi:10.1080/00018730801893043. S2CID 119608542.</ref>，在生态学文献中称为'''Taylor's Law 泰勒定律'''<ref name="Kendal2011a">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Taylor's power law and fluctuation scaling explained by a central-limit-like convergence |journal=Phys. Rev. E |volume=83 |issue=6 |pages=066115 |doi=10.1103/PhysRevE.83.066115 |pmid=21797449 |bibcode = 2011PhRvE..83f6115K }}</ref>。
其中a和p是正常数。这种方差-均值的幂律关系在物理学文献中称为'''涨落标度 Fluctuation Scaling'''<ref name="Eisler2008">Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. （2008）. "Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond". ''Adv Phys''. '''57''' （1）: 89–142. arXiv:0708.2053. Bibcode:2008AdPhy..57...89E. doi:10.1080/00018730801893043. S2CID 119608542.</ref>，在生态学文献中称为'''泰勒定律 Taylor's Law'''<ref name="Kendal2011a">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Taylor's power law and fluctuation scaling explained by a central-limit-like convergence |journal=Phys. Rev. E |volume=83 |issue=6 |pages=066115 |doi=10.1103/PhysRevE.83.066115 |pmid=21797449 |bibcode = 2011PhRvE..83f6115K }}</ref>。
随机序列由Tweedie分布控制，并通过展开箱的方法进行评估，在方差-均值幂律和幂律自相关之间表现出双条件关系。'''Wiener–Khinchin Theorem 维纳-辛钦定理'''进一步表明，在这些条件下，对于任何具有方差-均值幂律的序列，也会出现1/f噪声<ref name="Kendal2011">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Tweedie convergence: A mathematical basis for Taylor's power law, 1/''f'' noise, and multifractality |journal=Phys. Rev. E |volume=84 |issue=6 |pages=066120 |doi=10.1103/PhysRevE.84.066120 |bibcode = 2011PhRvE..84f6120K |pmid=22304168|url=https://findresearcher.sdu.dk:8443/ws/files/55639035/e066120.pdf }}</ref>。
随机序列由Tweedie分布控制，并通过展开箱的方法进行评估，在方差-均值幂律和幂律自相关之间表现出双条件关系。'''维纳-辛钦定理 Wiener–Khinchin Theorem'''进一步表明，在这些条件下，对于任何具有方差-均值幂律的序列，也会出现1/f噪声<ref name="Kendal2011">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Tweedie convergence: A mathematical basis for Taylor's power law, 1/''f'' noise, and multifractality |journal=Phys. Rev. E |volume=84 |issue=6 |pages=066120 |doi=10.1103/PhysRevE.84.066120 |bibcode = 2011PhRvE..84f6120K |pmid=22304168|url=https://findresearcher.sdu.dk:8443/ws/files/55639035/e066120.pdf }}</ref>。
'''Tweedie Convergence Theorem Tweedie 收敛定理'''为涨落标度和1/f噪声的广泛出现提供了一个假设性解释<ref name="Jørgensen1994">Jørgensen, B.; Martinez, J. R.; Tsao, M. （1994）. "Asymptotic behaviour of the variance function". ''Scand J Statist''. '''21''' （3）: 223–243. JSTOR 4616314.</ref> 。本质上，它要求任何一个可以渐近地显示方差-均值幂律的指数弥散模型，需要在Tweedie模型的吸引域内表达一个方差函数。几乎所有具有有限累积母函数的分布函数都符合指数弥散模型，而大多数指数弥散模型都表现出这种形式的方差函数。因此，许多概率分布都有表达这种渐近行为的方差函数，而Tweedie分布成为了不同数据类型收敛的焦点<ref name="Kendal2011" />。
'''收敛定理 Tweedie Convergence Theorem Tweedie'''为涨落标度和1/f噪声的广泛出现提供了一个假设性解释<ref name="Jørgensen1994">Jørgensen, B.; Martinez, J. R.; Tsao, M. （1994）. "Asymptotic behaviour of the variance function". ''Scand J Statist''. '''21''' （3）: 223–243. JSTOR 4616314.</ref> 。本质上，它要求任何一个可以渐近地显示方差-均值幂律的指数弥散模型，需要在Tweedie模型的吸引域内表达一个方差函数。几乎所有具有有限累积母函数的分布函数都符合指数弥散模型，而大多数指数弥散模型都表现出这种形式的方差函数。因此，许多概率分布都有表达这种渐近行为的方差函数，而Tweedie分布成为了不同数据类型收敛的焦点<ref name="Kendal2011" />。
=== 宇宙学===
=== 宇宙学===
在'''Physical Cosmology 宇宙物理学'''，'''Cosmic Microwave Background 宇宙微波背景'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''Primordial Fluctuations 原始涨落'''的振幅{{math|''P''（''k''）}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀论'''的主张是一致的。
在'''宇宙物理学 Physical Cosmology'''，'''宇宙微波背景 Cosmic Microwave Background'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''原始涨落 Primordial Fluctuations'''的振幅{{math|''P''（''k''）}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''宇宙膨胀论 Cosmic Inflation'''的主张是一致的。
==经典场论中的标度不变性==
==经典场论中的标度不变性==
参数 {{mvar|Δ}} 称为场的'''Scaling Dimension 标度维数'''，其大小取决于所考虑的理论。如果理论中没有固定长度的标度，标度不变性通常会成立。相反，如果存在固定的长度标度，则表明理论不具有标度不变性。
参数 {{mvar|Δ}} 称为场的'''标度维数 Scaling Dimension'''，其大小取决于所考虑的理论。如果理论中没有固定长度的标度，标度不变性通常会成立。相反，如果存在固定的长度标度，则表明理论不具有标度不变性。
我们注意到这个条件限制性很强。一般来说，即使是标度不变场方程的解也不是标度不变的，在这种情况下，对称性出现'''Spontaneously Broken 自发破缺'''。
我们注意到这个条件限制性很强。一般来说，即使是标度不变场方程的解也不是标度不变的，在这种情况下，对称性出现'''自发破缺 Spontaneously Broken'''。
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''Relativistic Field Theories 相对论场理论'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''相对论场理论 Relativistic Field Theories'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
<math>L=\frac{\hbar}{mc}</math>，
<math>L=\frac{\hbar}{mc}</math>，
==量子场论中的标度不变性==
==量子场论中的标度不变性==
量子场论（QFT）的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。
量子场论（QFT）的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''β函数 Beta-function'''中。
===无质量标量场理论===
===无质量标量场理论===
自由的、无质量的'''Quantized Scalar Field Theory 量子化标量场理论'''没有耦合参数。因此，像经典的版本一样，它是标度不变的。在重整化群的范畴中，这个理论称做'''Gaussian Fixed Point 高斯定点'''。
自由的、无质量的'''量子化标量场理论 Quantized Scalar Field Theory'''没有耦合参数。因此，像经典的版本一样，它是标度不变的。在重整化群的范畴中，这个理论称做'''高斯定点 Gaussian Fixed Point'''。
虽然量子化无质量''φ''<sup>4</sup>不是标度不变的，但除了高斯定点外，确实存在标度不变的量子化标量场理论。例如：'''Wilson-Fisher Fixed Point 威尔逊-费雪定点'''。
虽然量子化无质量''φ''<sup>4</sup>不是标度不变的，但除了高斯定点外，确实存在标度不变的量子化标量场理论。例如：'''威尔逊-费雪定点 Wilson-Fisher Fixed Point'''。
===共形场论===
===共形场论===
在完全共形对称条件下，标度不变的量子场论几乎总是不变的，对此类量子场论的研究就是共形场论（CFT）。共形场论中的算子具有定义明确的标度维数，类似于前面所讨论的经典场标度维数 ''∆''。然而，共形场论中算子的标度维数与经典理论中场的标度维数不同。在共形场论中出现的附加贡献称做'''Anomalous Scaling Dimensions 异常标度维数'''。
在完全共形对称条件下，标度不变的量子场论几乎总是不变的，对此类量子场论的研究就是共形场论（CFT）。共形场论中的算子具有定义明确的标度维数，类似于前面所讨论的经典场标度维数 ''∆''。然而，共形场论中算子的标度维数与经典理论中场的标度维数不同。在共形场论中出现的附加贡献称做'''异常标度维数 Anomalous Scaling Dimensions'''。
=== 标度与共形异常===
=== 标度与共形异常===
上面的φ<sup>4</sup>理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变（或共形不变）。如果是这种情况，则称经典标度（或共形）不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06（2014）080}}</ref>。
上面的φ<sup>4</sup>理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变（或共形不变）。如果是这种情况，则称经典标度（或共形）不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''宇宙膨胀 Cosmic Inflation'''，只要该理论可以通过'''微扰理论 Perturbation Theory'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06（2014）080}}</ref>。
==相变==
==相变==
在统计力学中，当某个系统经历相变时，其波动可以用标度不变的统计场论来描述。对于在{{mvar|D}}空间维度中处于平衡状态（即时间无关）的系统，相应的统计场论形式上类似于{{mvar|D}}维共形场论。这类问题中的标度维数通常称为'''Critical Exponents 临界指数'''，原则上可以在适当的共形场论中计算这些指数。
在统计力学中，当某个系统经历相变时，其波动可以用标度不变的统计场论来描述。对于在{{mvar|D}}空间维度中处于平衡状态（即时间无关）的系统，相应的统计场论形式上类似于{{mvar|D}}维共形场论。这类问题中的标度维数通常称为'''临界指数 Critical Exponents'''，原则上可以在适当的共形场论中计算这些指数。
关键地是，伊辛模型具有自旋-自旋相互作用，这使得两个相邻的自旋在能量上更有利于排列。另一方面，热波动通常会给自旋的排列带来随机性。在某些临界温度（Tc）下，就会发生'''Spontaneous Magnetization 自发磁化'''。这意味着在临界温度以下，自旋-自旋相互作用将开始占据主导地位，并且在两个方向中的任一方向上存在部分自旋的净排列。
关键地是，伊辛模型具有自旋-自旋相互作用，这使得两个相邻的自旋在能量上更有利于排列。另一方面，热波动通常会给自旋的排列带来随机性。在某些临界温度（Tc）下，就会发生'''自发磁化 Spontaneous Magnetization'''。这意味着在临界温度以下，自旋-自旋相互作用将开始占据主导地位，并且在两个方向中的任一方向上存在部分自旋的净排列。
在物理上很有趣的三维空间情况下，我们有{{mvar|ε}}=1，因此这种膨胀并不严格可靠。然而，半定量的预测是η在三维上的数值很小。
在物理上很有趣的三维空间情况下，我们有{{mvar|ε}}=1，因此这种膨胀并不严格可靠。然而，半定量的预测是η在三维上的数值很小。
另一方面，在二维情况下，伊辛模型是完全可解的。特别地，它等价于'''Minimal Model 最小模型'''之一，即一组很好理解的共形场论，并且可以精确地计算η（和其他临界指数）：
另一方面，在二维情况下，伊辛模型是完全可解的。特别地，它等价于'''最小模型 Minimal Model'''之一，即一组很好理解的共形场论，并且可以精确地计算η（和其他临界指数）：
<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>。
<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>。
* 电介质的电击穿现象，类似于裂缝和撕裂。
* 电介质的电击穿现象，类似于裂缝和撕裂。
* 流体通过无序介质的渗透，如石油通过破碎的岩层，或水通过滤纸，如色谱法。幂律标度变化将流速与裂缝的分布联系起来。
* 流体通过无序介质的渗透，如石油通过破碎的岩层，或水通过滤纸，如色谱法。幂律标度变化将流速与裂缝的分布联系起来。
* 分子在溶液中的扩散和'''Diffusion-limited Aggregation 扩散限制聚集'''现象。
* 分子在溶液中的扩散和'''扩散限制聚集 Diffusion-limited Aggregation'''现象。
* 在受重力作用而震动混杂的混合物中，不同大小的岩石碎块的分布。
* 在受重力作用而震动混杂的混合物中，不同大小的岩石碎块的分布。
===无应力牛顿流体力学===
===无应力牛顿流体力学===
在一定条件下，流体力学是一种标度不变的经典场论。流场包括流体流动速度<math>\mathbf{u}（\mathbf{x},t）</math>、流体密度<math>\rho（\mathbf{x},t）</math>和流体压力<math>P（\mathbf{x},t）</math>。这些场必须同时满足'''Navier–Stokes equation 纳维-斯托克斯方程'''和'''Continuity Equation 连续性方程'''。对于'''Newtonian Fluid 牛顿流体'''，它们有各自的形式：
在一定条件下，流体力学是一种标度不变的经典场论。流场包括流体流动速度<math>\mathbf{u}（\mathbf{x},t）</math>、流体密度<math>\rho（\mathbf{x},t）</math>和流体压力<math>P（\mathbf{x},t）</math>。这些场必须同时满足'''纳维-斯托克斯方程 Navier–Stokes equation'''和'''连续性方程 Continuity Equation'''。对于'''牛顿流体 Newtonian Fluid'''，它们有各自的形式：
<math>\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left（\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left（\nabla\cdot\mathbf{u}\right）\right）</math>
<math>\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left（\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left（\nabla\cdot\mathbf{u}\right）\right）</math>
其中<math>\mu</math>是'''Dynamic Viscosity 动态黏度'''。
其中<math>\mu</math>是'''动态黏度 Dynamic Viscosity'''。
=== 计算机视觉===
=== 计算机视觉===
在计算机视觉和生物视觉中，由于图像的透视映射和世界上物体的物理尺寸不同而产生了标度变换。在这些领域中，标度不变性是指当图像域的局部尺度发生变化时，图像数据的图像描述或视觉表达效果保持不变<ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. （2013） Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8（7）:e66990.]</ref> 。在归一化导数响应的尺度上检测局部极大值为从图像数据中获取标度不变性提供了一个通用框架<ref name="Lindeberg1998">Lindeberg, Tony （1998）. "Feature detection with automatic scale selection". ''International Journal of Computer Vision''. '''30''' （2）: 79–116. doi:10.1023/A:1008045108935. S2CID 723210.</ref><ref name=Lin14CompVis>T. Lindeberg （2014） [http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin14-ScSel-CompVisRefGuide.html "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, （K. Ikeuchi, Editor）, Springer, pages 701-713.]</ref>。应用的例子包括'''Blob Detection 斑点检测'''、'''Corner Detection 角点检测、Ridge Detection 脊线检测'''和通过'''Scale-Invariant Feature Transform 标度不变特征变换'''进行的目标识别。
在计算机视觉和生物视觉中，由于图像的透视映射和世界上物体的物理尺寸不同而产生了标度变换。在这些领域中，标度不变性是指当图像域的局部尺度发生变化时，图像数据的图像描述或视觉表达效果保持不变<ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. （2013） Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8（7）:e66990.]</ref> 。在归一化导数响应的尺度上检测局部极大值为从图像数据中获取标度不变性提供了一个通用框架<ref name="Lindeberg1998">Lindeberg, Tony （1998）. "Feature detection with automatic scale selection". ''International Journal of Computer Vision''. '''30''' （2）: 79–116. doi:10.1023/A:1008045108935. S2CID 723210.</ref><ref name=Lin14CompVis>T. Lindeberg （2014） [http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin14-ScSel-CompVisRefGuide.html "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, （K. Ikeuchi, Editor）, Springer, pages 701-713.]</ref>。应用的例子包括'''斑点检测 Blob Detection'''、'''角点检测 Corner Detection'''、'''脊线检测 Ridge Detection'''和通过'''标度不变特征变换 Scale-Invariant Feature Transform'''进行的目标识别。