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小第226行：
第226行： + 第244行：
第245行： − + + + 第252行：
第255行： − 在方程式中的位置。 \ref{eq:appA_rx} 我们删除了二阶项 $x_1 R_1\rho$，因为我们假设 $R_1\ll R_0$ 和 $|x_1|\ll x_0$。堵塞方程式。 \ref{eq:appA_rx} 转化为等式。 \ref{eq:appA_x} 产生+ + + − [数学]\displaystyle{ \begin{eqnarray} {\frac<nowiki>{{\rm d} x}{{\rm d}t}} = \frac{1-x}{\tau_{d}}</nowiki> - U R_0 x - U x_0 R + U x_0 R_0\,.\label{eq:appA_xlin} \end{eqnarray} }[/math] − We now take the Fourier transform at both sides of Eq. \ref{eq:appA_xlin} 第262行：
第265行： + + + + 第269行：
第276行： − + + + + + 第275行：
第286行： − where from Eq. \ref{eq:appA_x01} we used $U R_0 \tau_{d}=1/x_0 - 1$. − + + + + + + + + + + + + + + + 第287行：
第311行： − around the steady-state value <math> − I_0 = \tau_{s}AU x_0 R_0 − </math>. − 接下来，我们方程式（11）插入方程式（8）线性化突触电流的动态性+ − \begin{eqnarray} − I &=& \tau_{s}AU (R_0x+x_0R-x_0R_0)\\ − &=& I_0 \left( \frac{x}{x_0}+ \frac{R}{R_0}-1\right) \label{eq:appA_Ilin} − \end{eqnarray} − </math> − 围绕静态值 <math> + + + 第311行：
第329行： − + + + 第319行：
第339行： − 通过对等式（16）两边进行傅里叶变换。使用等式（15），我们得到 <math>+ − \begin{eqnarray}+ − \widehat{I} &=& I_0 \frac{\widehat{x}}{x_0} + I_0 \frac{\widehat{R}}{R_0} - I_0 \delta(\omega) \\+ − &=& \frac{I_0}{R_0} \widehat{\chi} \widehat{R} + I_0(1-x_0) \delta(\omega) − \label{eq:appA_Ihat} − \end{eqnarray} − </math>，其中我们定义了过滤器<math> − \begin{eqnarray} − \widehat{\chi}(\omega) := 1- \frac{1/x_0 -1}{1/x_0 + j\omega \tau_{d}} = \frac{1+(\tau_{d}\omega)^2x_0+j\omega\tau_{d}(1-x_0)}{1/x_0+(\tau_{d}\omega)^2 x_0}\,. − \label{eq:appA_chihat} − \end{eqnarray} − </math> − To interpret the result, we plug into Eq.（17）the Fourier transform<math>+ − which yields − <math>+ − \begin{eqnarray} − \widehat{I}(\omega) = I_0 \delta(\omega) + \frac{I_0 R_1}{R_0} \widehat{\chi}(\omega) \widehat{\rho}(\omega)\,. − \label{eq:appA_Ihat_final} − \end{eqnarray} − </math> − − 为了解释结果，我们插入方程式。 （17）傅里叶变换<math> − \widehat{R}=R_0\delta(\omega)+R_1 \widehat{\rho} − </math>，产生 第357行：
第358行： − 最后，等式（19）的傅里叶逆变换读取 + + 第365行：
第367行： − with+ − − 以及
→Appendix A: Derivation of a temporal filter for short-term depression
我们假设 <math>R</math>中的这种小扰动会在变量<math>x</math>中围绕其稳态值<math>x_0>0</math>产生小的扰动:
我们假设 <math>R</math>中的这种小扰动会在变量<math>x</math>中围绕其稳态值<math>x_0>0</math>产生小的扰动:
<math>
<math>
x(t) = x_0 + x_1(t)\quad\text{with}\quad x_0 = \frac{1}{1+UR_0\tau_{d}} \quad\text{and}\quad |x_1(t)| \ll x_0 \, .
x(t) = x_0 + x_1(t)\quad\text{with}\quad x_0 = \frac{1}{1+UR_0\tau_{d}} \quad\text{and}\quad |x_1(t)| \ll x_0 \, .
</math>
</math>
where in Eq. \ref{eq:appA_rx} we dropped the second-order term $x_1 R_1\rho$ because we assumed $R_1\ll R_0$ and $|x_1|\ll x_0$. Plugging Eq. \ref{eq:appA_rx} into Eq. \ref{eq:appA_x} yields
where in Eq. （11）we dropped the second-order term <math>x_1 R_1\rho</math> because we assumed<math>R_1\ll R_0</math>and<math>|x_1|\ll x_0</math>. Plugging Eq. （11） into Eq. （7） yields
在等式（11）中，我们删除了二阶项 <math>x_1 R_1\rho</math>，因为，我们假设<math>R_1\ll R_0</math>和 <math>|x_1|\ll x_0</math>，将等式（11）插入等式（7）产生,
<math>
<math>
</math>
</math>
We now take the Fourier transform at both sides of Eq. （12）
我们现在对等式两边进行傅里叶变换。
<math>
<math>
\begin{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\end{eqnarray}
</math>
</math>
where we defined the Fourier transform pair
where we defined the Fourier transform pair
这里我们定义了傅里叶变换对
<math>
<math>
\begin{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\end{eqnarray}
</math>
</math>
and $j=\sqrt{-1}$ is the imaginary unit. Solving Eq. \ref{eq:appA_xhat0} for the variable $\widehat{x}$, we find
and<math>
j=\sqrt{-1}
</math>is the imaginary unit. Solving Eq. （13） for the variable <math>
\widehat{x}
</math>, we find
<math>
<math>
\begin{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\end{eqnarray}
</math>
</math>
<nowiki>我们现在对等式两边进行傅里叶变换。 \ref{eq:appA_xlin} [数学]\displaystyle{ \begin{eqnarray} j\omega \tau_{d} \widehat{x} = -\widehat{x} - U R_0 \tau_{d} \widehat{x } - U x_0 \tau_{d}\widehat{R} + (1+ U R_0 \tau_{d} x_0) \delta(\omega) \label{eq:appA_xhat0} \end{eqnarray} }[/math]我们定义了傅里叶变换对 [math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \widehat{x}(\omega) := \int \!{\rm d}{t}\, x(t) \exp( -j\omega t ) \quad; \quad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int \!{\rm d}\omega\, \widehat{x}(\omega) \exp(j\omega t) \label{ eq:appA_ft} \end{eqnarray} }[/math] 和 $j=\sqrt{-1}$ 是虚数单位。求解方程。 \ref{eq:appA_xhat0} 对于变量 $\widehat{x}$，我们找到 [math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \widehat{x} = -\frac{U\tau_{d}x_0}{ 1/x_0 + j \omega \tau_{d}} \widehat{R} + x_0 (2-x_0) \delta(\omega) \label{eq:appA_xhat} \end{eqnarray} }[/math] 从哪里方程。 \ref{eq:appA_x01} 我们使用了 $U R_0 \tau_{d}=1/x_0 - 1$。</nowiki>
<math>
j=\sqrt{-1}
</math>是虚数单位。求解等式（13）的对应变量 <math>
\widehat{x}
</math>，我们得到
where from Eq. （10） we used <math>
U R_0 \tau_{d}=1/x_0 - 1
</math>.
其中从等式（10）中，我们使用了<math>
U R_0 \tau_{d}=1/x_0 - 1
</math>。
Next, we plug Eq. （11）into Eq. （8） to linearize the dynamics of the synaptic current
Next, we plug Eq. （11）into Eq. （8） to linearize the dynamics of the synaptic current
接下来，我们方程式（11）插入方程式（8）线性化突触电流的动态性
<math>
<math>
\end{eqnarray}
\end{eqnarray}
</math>
</math>
around the steady-state value围绕静态值
<math>
<math>
I_0 = \tau_{s}AU x_0 R_0
I_0 = \tau_{s}AU x_0 R_0
</math>.
</math>.
By taking the Fourier transform at both sides of Eq. （16）, using Eq. （15）, we obtain
By taking the Fourier transform at both sides of Eq. （16）, using Eq. （15）, we obtain
通过对等式（16）两边进行傅里叶变换。使用等式（15），我们得到
<math>
<math>
\begin{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\end{eqnarray}
</math>
</math>
where we defined the filter
where we defined the filter其中我们定义了过滤器
<math>
<math>
\begin{eqnarray}
\begin{eqnarray}
</math>
</math>
To interpret the result, we plug into Eq.（17）the Fourier transform
为了解释结果，我们插入等式（17）傅里叶变换
<math>
\widehat{R}=R_0\delta(\omega)+R_1 \widehat{\rho}
\widehat{R}=R_0\delta(\omega)+R_1 \widehat{\rho}
</math>,
</math>,
which yields产生
<math>
<math>
Finally, the inverse Fourier transform of Eq.（19）reads
Finally, the inverse Fourier transform of Eq.（19）reads
最后，等式（19）的傅里叶逆变换为
<math>
<math>
\begin{eqnarray}
\begin{eqnarray}
</math>
</math>
with以及
<math>
<math>