更改

我们现在展示这个：因果态是最高准确度的预测器并且是最小统计复杂度的；他们在共享两者属性中是唯一的；而且他们状态到状态的转换是最小随机性的。用其他的话说，他们满足从奥卡姆借用的两个约束条件，而且他们是唯一能做到这样的表示形式。这个非常重要的寓意在这里是因果态和ϵ-机制是任何学习或模型词汇的目标。该论点由证明最优化理论的久享盛名的意义上作出。我们指出，在我们的结论备注中（第Ⅶ节），在获取这些目标中已经包含了实的例子。

我们现在展示这个：因果态是最高准确度的预测器并且是最小统计复杂度的；他们在共享两者属性中是唯一的；而且他们状态到状态的转换是最小随机性的。用其他的话说，他们满足从奥卡姆借用的两个约束条件，而且他们是唯一能做到这样的表示形式。这个非常重要的寓意在这里是因果态和ϵ-机制是任何学习或模型词汇的目标。该论点由证明最优化理论的久享盛名的意义上作出。我们指出，在我们的结论备注中（第Ⅶ节），在获取这些目标中已经包含了实的例子。

图例3。一个可供替代的状态的类R划分S<-覆盖在因果态S上（由实线绘出）。这里，作为例子，S2包含R1, R2, R3和R4的部分。这些所有可供替代的部分的集合构成了奥卡姆的水池。再次注意到Ri需要不是紧致的也不是简单连接的，如所绘制的那样。

图例3。一个可供替代的状态的类<math>\mathbfcal{R}</math>划分<math>\overset{\gets}{\mathbf{S}}</math>覆盖在因果态<math>\mathbfcal{S}</math>上（由实线绘出）。这里，作为例子，<math>\mathcal{S}_2</math>包含<math>\mathcal{R_1, R_2, R_3和R_4}</math>的部分。这些所有可供替代的部分的集合构成了奥卡姆的水池。再次注意到<math>\mathcal{R}_i</math>需要不是紧致的也不是简单连接的，如所绘制的那样。

作为我们策略的部分，然后，我们仍要证明几个不是最优化的结果；我们叫这些引理以标识他们的从属状态。所有我们的定理，和一些我们的引理，将由一些方法构造，包括比较因果态，由ϵ生成，用其他状态的等价态集合，由其他函数η生成。简而言之，没有竞争状态——没有其他斑图——可能构造因果态。

作为我们策略的部分，然后，我们仍要证明几个不是最优化的结果；我们叫这些引理以标识他们的从属状态。所有我们的定理，和一些我们的引理，将由一些方法构造，包括比较因果态，由ϵ生成，用其他状态的等价态集合，由其他函数η生成。简而言之，没有竞争状态——没有其他斑图——可能构造因果态。

修正一些附加的标记法是很方便地。让S是当前因果态的随机变量，S->1∈A是下一个我们从原始随机过程获得的“可观测的”量，S'是下一个因果态，R是对应到η的当前态，而R'是下一个η状态。σ将表示S的一个部分值（因果态），而ρ是R的部分值。当我们量化因果态的可替代者时，我们在R上量化。

修正一些附加的标记法是很方便地。让<math>\mathcal{S}</math>是当前因果态的随机变量，<math>\overset{\to 1}{S} \in \mathcal{A}</math>是下一个我们从原始随机过程获得的“可观测的”量，<math>\mathcal{S}'</math>是下一个因果态，<math>\mathcal{R}</math>是对应到η的当前态，而<math>\mathcal{R}'</math>是下一个η状态。σ将表示<math>\mathcal{S}</math>的一个部分值（因果态），而ρ是<math>\mathcal{R}</math>的部分值。当我们量化因果态的可替代者时，我们在<math>\mathbfcal{R}</math>上量化。

定理1（因果态具有最大预测性）【15】

定理1（因果态具有最大预测性）【15】

对于所有的R和所有的L∈Z+，

对于所有的<math>\mathbfcal{R}</math>和所有的<math>L \in \mathbb{Z}^+</math>，

<math>

<math>

H[\overset{\to L}{S} \vert R] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert S] \tag{42}

H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R}] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}] \tag{42}

</math>

</math>

证明。我们已经看到H[S->L|R]>=H[S->L|S<-]（引理1）。但是由构造（定义5），

证明。我们已经看到<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R}] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert \overset{\gets}{S}]</math>（引理1）。但是由构造（定义5），

<math>

<math>

</math>

</math>

自从熵仅依赖于概率分布，H[S->L|S] = H[S->L|S<-]，对于每个L。因此，H[S->L | R] >= H[S->L | S]，对于所有的L。证毕。

自从熵仅依赖于概率分布，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}] = H[\overset{\to L}{S} \vert \overset{\gets}{S}]</math>，对于每个L。因此，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R}] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}]</math>，对于所有的L。证毕。

备注。这就是说，因果态在预测未来方面是一样优秀的——作为预测者——作为完整的历史。在这方面，他们符合最开始从奥卡姆处借用的要求。自从因果态是良好定义的，而且自从他们可以被系统性的逼近，我们已经展示了斑图强度（定义3和引理1，备注）的上界在实际上是可以达到的。直观地，因果态达到这个，是因为——不象一般的实际状态，他们没有丢弃任何关于未来的信息，可能包含在S<-中。用更通俗的话讲，为解释参考文献【70】中信息的定义，因果态记录制造不同（去到未来）的每个不同（关于过去）。我们实际上可以非常准确地制造这种直觉，使用定理的一个简单推论。

备注。这就是说，因果态在预测未来方面是一样优秀的——作为预测者——作为完整的历史。在这方面，他们符合最开始从奥卡姆处借用的要求。自从因果态是良好定义的，而且自从他们可以被系统性的逼近，我们已经展示了斑图强度（定义3和引理1，备注）的上界在实际上是可以达到的。直观地，因果态达到这个，是因为——不象一般的实际状态，他们没有丢弃任何关于未来的信息，可能包含在S<-中。用更通俗的话讲，为解释参考文献【70】中信息的定义，因果态记录制造不同（去到未来）的每个不同（关于过去）。我们实际上可以非常准确地制造这种直觉，使用定理的一个简单推论。