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第33行：
第33行： − 为了识别复杂网络中的因果涌现，需要对网络进行粗粒化，然后比较宏观网络与微观网络的有效信息，判断能否发生因果涌现。粗粒化方法包括：贪婪算法、谱分解方法以及梯度下降方法。+ 第85行：
第85行： − + − 该工作<ref name=":0" />在随机（ER）、偏好依赖（PA）等人工网络，以及 4 类真实网络中做了试验。 + − 对于ER网络，有效信息的大小只依赖连接概率 <math>p </math>，并且随着网络规模的增大会收敛到<math>-log_2p </math>。在某点之后，随机网络结构不会随着其规模的增加而包含更多的信息，这个相变点近似在网络的平均度 <math><k> </math>=<math>log_2N </math> 的位置。随着ER网络连接概率的增大，巨连通集团相变点位置对应出现，如图a所示。+ + − 对于PA 网络：<math>\alpha<1.0 </math>时，有效信息的大小随着网络规模的增加而增大；<math>\alpha>1.0 </math>时，结论相反； <math>\alpha=1.0 </math>对应的无标度网络则是增长的临界边界，如图b所示。+ + − 此外，还利用贪婪算法构建了宏观尺度的网络，对于大规模网络其效率很低。Griebenow 等<ref>Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>提出了一种基于谱聚类的方法识别偏好依附网络中的因果涌现。相较于贪婪算法以及梯度下降算法，谱聚类算法的计算时间最少，同时找到宏观网络的因果涌现也更加显著。
→实验分析
==粗粒化复杂网络==
==粗粒化复杂网络==
为了识别复杂网络中的因果涌现，需要对网络进行粗粒化，然后比较宏观网络与微观网络的有效信息，判断能否发生因果涌现。粗粒化方法包括：贪婪算法、谱分解方法以及梯度下降方法。Klein等人<ref name=":0" />利用贪婪算法构建了宏观尺度的网络，发现对于大规模网络其效率很低。Griebenow 等人<ref>Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>提出了一种基于谱分解的方法识别偏好依赖网络中的因果涌现。相较于贪婪算法以及梯度下降算法，谱分解算法的计算时间最少，同时找到宏观网络的因果涌现也更加显著。
===贪婪算法===
===贪婪算法===
<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>
<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>
==实验分析==
==复杂网络中的因果特性==
2020年Klein等人在一篇论文<ref name=":0" />中分析了随机（ER）、偏好依赖（PA）等人工网络，以及生物、社会、信息和技术4类真实网络的因果特性。
=== 人工网络的因果特性 ===
1）对于ER网络，有效信息的大小只依赖连接概率 <math>p </math>，并且随着网络规模的增大会收敛到<math>-log_2p </math>。在某点之后，随机网络结构不会随着其规模的增加而包含更多的信息，这个相变点近似在网络的平均度 <math><k> </math>=<math>log_2N </math> 的位置。随着ER网络连接概率的增大，巨连通集团相变点位置对应出现，如图a所示。
2）对于PA 网络：<math>\alpha<1.0 </math>时，有效信息的大小随着网络规模的增加而增大；<math>\alpha>1.0 </math>时，结论相反； <math>\alpha=1.0 </math>对应的无标度网络则是增长的临界边界，如图b所示。
=== 真实网络的因果特性 ===
对于真实网络，生物网络因为具有很大的噪声，所以有效信息最低，通过有效的粗粒化能去除这些噪声。相较于其他类型，因果涌现最显著；技术类型网络是更稀疏、非简并的网络，因此，平均效率更高，节点关系更加具体，所有有效信息也最多，如图c、d所示。
对于真实网络，生物网络因为具有很大的噪声，所以有效信息最低，通过有效的粗粒化能去除这些噪声。相较于其他类型，因果涌现最显著；技术类型网络是更稀疏、非简并的网络，因此，平均效率更高，节点关系更加具体，所有有效信息也最多，如图c、d所示。
[[文件:结果.png|居中|700x600像素|实验结果|缩略图]]
[[文件:结果.png|居中|700x600像素|实验结果|缩略图]]