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\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。
</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。
可以通过以下数值实验来验证这一点：我们可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。最初，我们生成r个独立的 one-hot 向量，然后使用与附录B.1中描述的相同方法软化这些行向量，软化程度由<math>
可以通过以下数值实验来验证这一点：我们可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。最初，我们生成r个独立的 one-hot 向量，然后使用与附录B.1中描述的相同方法软化这些行向量，软化程度由<math>
\sigma</math>确定。随后，我们通过将这些软化的 one-hot 向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后我们量化<math>
\sigma</math>确定。随后，我们通过将这些软化的 one-hot 向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后我们量化<math>
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如图2(d) 所示。
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如图2(d) 所示。
很明显，对于较小的r值，随着<math>
很明显，对于较小的r值，随着<math>
\sigma</math>的增加，<math>
\sigma</math>的增加，<math>
\log{\Gamma}
\log{\Gamma}
</math>都达到相同的最大值。这解释了为什么当r很大时会出现轻微的颠簸。
</math>都达到相同的最大值。这解释了为什么当r很大时会出现轻微的颠簸。
其次，即使在所有行向量相同的情况下，EI 和<math>
其次，即使在所有行向量相同的情况下，EI 和<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
==量化因果涌现==
==量化因果涌现==
下面基于Hoel等人的论文[5, 6]中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文[5, 6]中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>
</math>。 因果涌现的判断与参考文献[5]相同。
。 因果涌现的判断与参考文献[5]相同。
图3(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图3(h) 所示。我们选择<math>
图3(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图3(h) 所示。我们选择<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献[5]，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与 [5] 相同。参考文献 [5] 和 [6] 中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献[5]，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与 [5] 相同。参考文献 [5] 和 [6] 中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图 3(j-l)）和细胞自动机（图 4(g-i)）。图 3（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图 3(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图 3(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图 3(j-l)）和细胞自动机（图 4(g-i)）。图 3（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图 3(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图 3(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
如图4（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图4(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图4(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
如图4（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图4(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图4(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
\Delta\Gamma
\Gamma
\Gamma
</math>不变。
</math>不变。
粗粒化方法包括五个步骤：1) 对TPM进行SVD分解；2)选择一个<math>
粗粒化方法包括五个步骤：1) 对TPM进行SVD分解；2)选择一个<math>
\epsilon
\epsilon
</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}
</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}
</math>
</math>作为保留状态的个数；3)通过计算<math>
作为保留状态的个数；3)通过计算<math>
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>对P中的所有Pi进行降维，其中<math>
</math>对P中的所有Pi进行降维，其中<math>
\Phi</math>；以及 5) 利用<math>
\Phi</math>；以及 5) 利用<math>
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
我们在图 3 和图 4 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图 3(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图 3(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>
我们在图 3 和图 4 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图 3(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图 3(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图3(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图3(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>