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=== 基于变量的因果涌现实例 ===

=== 基于变量的因果涌现实例 ===

下面从变量角度，分别给出了空间、时间和时空因果涌现的布尔实例，从微观动力学、粗粒化映射和宏观动力学三个方面进行描述和分析。注：[math]S_m[/math]表示微观下系统的变量组成；[math]S_M[/math]表示宏观下系统的变量组成。微观变量是布尔值且用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]标记，宏观变量用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]标记。每个微观变量的状态标记为[math]\{1,0\}[/math]，宏观变量的状态标记为{“on”，“off”,“bursting”，“quiet”…}。微观态对应的转移概率矩阵为[math]P_m[/math]，宏观态对应的转移概率矩阵为[math]P_M[/math]。

 

在下面的讨论中，[math]X_m[/math]表示微观变量的集合；[math]X_M[/math]表示宏观变量的集合。微观变量的取值集合为[math]\{0,1\}[/math]，即都是布尔值变量，我们用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]来表示，宏观变量则用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]表示。每个微观变量的状态标记为[math]\{0,1\}[/math]，宏观变量的状态标记为[math]\{“on”，“off”\}[/math]或[math]\{“bursting”，“quiet”\}[/math]。微观态对应的转移概率矩阵(TPM)为[math]P_m[/math]，宏观态对应的转移概率矩阵(TPM)为[math]P_M[/math]。

==== 空间因果涌现 ====

==== 空间因果涌现 ====

 

 

'''1.提高确定性实例分析'''

=====提高确定性实例分析=====

'''微观动力学'''：系统由四个布尔变量组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，其中一个组中的每个变量[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个变量[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A中间表格为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个变量有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由变量单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，满足概率之和为1。

'''微观态与微观动力学'''：系统由四个布尔变量组成[math]X_m = \{A,B,C,D\}[/math] 组成（如图A）。其中，变量A和B一组，变量C和D一组，其中一个组中的每个变量[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个变量[math]t[/math]时刻的状态决定。系统的动力学可以表达为一种微观机制（如图A中的中间的表格）。该机制可以被看做一个带噪声的AND门。假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个变量有0.7的概率为0，0.3的概率为1。因此，我们可以得到AB联合变量的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种联合状态的概率由A和B单独状态所对应的概率的乘积得到。所以这四种联合状态的概率分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，且满足概率之和为1的归一化条件。

考虑到每个变量都有两个可能状态，则总共有[math]2^4=16[/math]个微观态。接着上面的例子，假设[math]t[/math]时刻CD = {cd}，而且AB = {ab}（这里a,b,c,d指代变量状态，可取0或1），可以按照上述机制分别计算[math]t+1[/math]时刻AB和CD的状态分布{a'b'}和{c'd'}，又因为AB和CD的状态在同一时刻是互相独立的，那么系统[math]t+1[/math]时刻状态取{a'b'c'd'}的概率等于两组变量分别{a'b'}和{c'd'}的概率相乘，也就可以得到状态转移之间的关系。避免先验信息和其他因果关系的影响，我们将[math]t[/math]时刻系统以等概率设置为所有可能的微观态，即每种处于微观态的概率都为1/16，可以根据上述计算方式得到微观态的概率转移矩阵 16 × 16 [math]P_m[/math]。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(P_m) = Det(P_m) - Deg(P_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_m) = EI(P_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]。

考虑到每个变量都有两种可能状态，则总共有[math]2^4=16[/math]个微观态。接着上面的例子，假设[math]t[/math]时刻CD = {cd}，而且AB = {ab}（这里a,b,c,d指代变量状态，可取0或1），可以按照上述机制分别计算[math]t+1[/math]时刻AB和CD的状态分布{a'b'}和{c'd'}，又因为AB和CD的状态在同一时刻是互相独立的，那么系统[math]t+1[/math]时刻状态取{a'b'c'd'}的概率等于两组变量分别{a'b'}和{c'd'}的概率相乘，也就可以得到状态转移之间的关系。避免先验信息和其他因果关系的影响，我们将[math]t[/math]时刻系统以等概率设置为所有可能的微观态，即每种处于微观态的概率都为1/16，可以根据上述计算方式得到微观态的概率转移矩阵 16 × 16 [math]P_m[/math]。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(P_m) = Det(P_m) - Deg(P_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_m) = EI(P_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]。

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