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[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]的新框架，该方法基于奇异值分解，提出了近似动力学可逆性（<math>\Gamma_{\alpha}</math>）的概念，用于量化[[马尔科夫动力学]]接近可逆动力学的程度，该指标在离散的马尔科夫链（TPM）和连续的具有高斯噪声的连续马尔科夫系统都有相应的表达方式与物理含义；与此同时，该理论还提出了一种不依赖于粗粒化方案就能直接根据动力学的奇异值谱判断因果涌现是否发生的方法。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化问题上，基于近似可逆性指标的因果涌现判断与[[Erik Hoel]]等人提出的基于[[有效信息]]（EI）指标最大化的因果涌现判断是等效的，且<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>和EI是存在着渐近近似相等的关系；而在连续高斯噪声迭代系统中，研究者可以推导出一个近似的线性关系公式以表达两种指标的联系。此外，该理论还提出了基于奇异值分解（SVD）的新粗粒化策略，并通过实验证明了该方法的有效性。

[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]的新框架，该方法基于奇异值分解，提出了近似动力学可逆性（<math>\Gamma_{\alpha}</math>）的概念，用于量化[[马尔科夫动力学]]接近可逆动力学的程度，该指标在离散的马尔科夫链和连续的具有高斯噪声的连续马尔科夫系统都有相应的表达方式与物理含义；与此同时，该理论还提出了一种不依赖于粗粒化方案就能直接根据动力学的奇异值谱判断因果涌现是否发生的方法。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化问题上，基于近似可逆性指标的因果涌现判断与[[Erik Hoel]]等人提出的基于[[有效信息]]（EI）指标最大化的因果涌现判断是等效的，且<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>和EI是存在着渐近近似相等的关系；而在连续高斯噪声迭代系统中，研究者可以推导出一个近似的线性关系公式以表达两种指标的联系。此外，该理论还提出了基于奇异值分解（SVD）的新粗粒化策略，并通过实验证明了该方法的有效性。

=简介=

=简介=

==动力学可逆性==

==动力学可逆性==

===离散动力学===

===离散动力学===

对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：

对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的'''转移概率矩阵(Transitional Probability Matrix，简称TPM)''' P ，如果P同时满足：

# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；  

# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；  

# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，

# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，