更改

2024年，[[张江]]等人<ref name="reversibility">Zhang, J., Tao, R., Leong, K.H. et al. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complex 2, 3 (2025).</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值，[math]\alpha[/math]为一个参数，用以刻画最终指标偏向于衡量确定性或简并性的程度，通常我们取[math]\alpha=1[/math]，表示平权考虑确定性或简并性对最终可逆性度量的影响。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，因而也可以用于刻画动力学的[[因果效应强度]]。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2024年，[[张江]]等人<ref name="reversibility">Zhang, J., Tao, R., Leong, K.H. et al. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complex 2, 3 (2025).</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值，[math]\alpha[/math]为一个参数，用以刻画最终指标偏向于衡量确定性或简并性的程度，通常我们取[math]\alpha=1[/math]，表示平权考虑确定性或简并性对最终可逆性度量的影响。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，因而也可以用于刻画动力学的[[因果效应强度]]。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

直观地说，如果将一个马尔科夫动力学看作是一个通信信道，那么，每一状态下的概率转移就看作是一个信息通路（informaiton pathway），于是该系统发生因果涌现就等价于系统中存在着冗余的信息通路——存在着一些状态转移与其它状态转移相似或线性相关，而消除这些冗余通路的最好办法就是利用SVD找到等于零或接近于零的奇异值以及对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，我们可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案近似等价于将系统的动力学向较大奇异值对应的奇异向量方向做投影的粗粒化方案。而且，系统所能达到的最大信息传输效率的提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。

直观地说，如果将一个马尔科夫动力学看作是一个通信信道，那么，每一状态下的概率转移就看作是一个信息通路（information pathway），于是该系统发生因果涌现就等价于系统中存在着冗余的信息通路——存在着一些状态转移与其它状态转移相似或线性相关，而消除这些冗余通路的最好办法就是利用SVD找到等于零或接近于零的奇异值以及对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，我们可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案近似等价于将系统的动力学向较大奇异值对应的奇异向量方向做投影的粗粒化方案。而且，系统所能达到的最大信息传输效率的提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功地拓展到了高斯噪声迭代系统之中（[math]X_{t+1}=a_0+AX_t+\xi_t[/math]）。对于一个具有高斯噪声的迭代动力系统，我们可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，利用泛函分析和傅里叶变换，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论状态空间的维数<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷的，状态空间的势（反应集合中点的数量）也都是相同阶的无穷大，因此我们无法直接从状态上进行约减，而需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到变量空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>都正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映变量空间在动力学意义下的可逆性。在变量空间，因果涌现的含义即系统的动力学中存在着冗余的维度，而通过粗粒化方案将动力学向较大奇异值对应的奇异向量上投影，我们便可以获得最大化的维度平均可逆性的提升，这一潜在的提升能力就可以被定义为因果涌现的定量化度量。因此在满足高斯噪声的连续变量空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功地拓展到了高斯噪声迭代系统之中（[math]X_{t+1}=a_0+AX_t+\xi_t[/math]）。对于一个具有高斯噪声的迭代动力系统，我们可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，利用泛函分析和傅里叶变换，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论状态空间的维数<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷的，状态空间的势（反应集合中点的数量）也都是相同阶的无穷大，因此我们无法直接从状态上进行约减，而需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到变量空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>都正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映变量空间在动力学意义下的可逆性。在变量空间，因果涌现的含义即系统的动力学中存在着冗余的维度，而通过粗粒化方案将动力学向较大奇异值对应的奇异向量上投影，我们便可以获得最大化的维度平均可逆性的提升，这一潜在的提升能力就可以被定义为因果涌现的定量化度量。因此在满足高斯噪声的连续变量空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。