更改

目前主要有两种用于Koopman嵌入的[[深度神经网络]]架构，如上图所示。在第一种架构中，深度自动编码器架构提取几个关键的潜在变量 <math>\mathbf{z} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x})</math> 来参数化[[动力学]]。在第二种架构中，高维输入数据被提升到更高的维度，在该维度下演化近似为线性的。

目前主要有两种用于Koopman嵌入的[[深度神经网络]]架构，如上图所示。在第一种架构中，深度自动编码器架构提取几个关键的潜在变量 <math>\mathbf{z} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x})</math> 来参数化[[动力学]]。在第二种架构中，高维输入数据被提升到更高的维度，在该维度下演化近似为线性的。

在这两种 Koopman [[神经网络]]中，都强制执行了一个额外的约束，即在这些潜在变量上的[[动力学]]必须是线性的，由矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 给出。线性[[动力学]]的约束通过损失函数 <math>\|\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_{k+1}) - \mathbf{K}\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_k)\|</math> 来强制执行，其中 <math>\mathbf{K}</math> 是一个矩阵。通常，线性度是在多个时间步长上强制执行的，因此会有额外的项 <math>\|\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_{k+p}) - \mathbf{K}^p\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_k)\|</math> 被添加到损失函数中。

在这两种 Koopman [[神经网络]]中，都强制执行了一个额外的约束，即在这些潜在变量上的[[动力学]]必须是线性的，由矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 给出。线性[[动力学]]的约束通过损失函数 <math>\|\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_{k+1}) - \mathbf{K}\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_k)\|</math> 来强制执行，其中 <math>\mathbf{K}</math> 是一个矩阵。

[[自编码器]]具有低维潜在空间的优势，这可能促进可解释的解的产生。[[自编码器]]已被广泛用于[[复杂系统]]建模，例如在[[流体力学]]中<ref>S. L. Brunton, B. R. Noack, and P. Koumoutsakos, Machine learning for fluid mechanics, Annu. Rev. Fluid Mech., 52 (2020), pp. 477--508. (Cited on pp. 259, 290)</ref>，它们可以被视为[[SVD]]的[[非线性]]扩展，而[[SVD]]是 DMD 算法的核心。通过这种方式，基于[[自编码器]]的深度Koopman网络可以被视为DMD的推广。   

[[自编码器]]具有低维潜在空间的优势，这可能促进可解释的解的产生。[[自编码器]]已被广泛用于[[复杂系统]]建模，例如在[[流体力学]]中<ref>S. L. Brunton, B. R. Noack, and P. Koumoutsakos, Machine learning for fluid mechanics, Annu. Rev. Fluid Mech., 52 (2020), pp. 477--508. (Cited on pp. 259, 290)</ref>，它们可以被视为[[SVD]]的[[非线性]]扩展，而[[SVD]]是 DMD 算法的核心。通过这种方式，基于[[自编码器]]的深度Koopman网络可以被视为DMD的推广。