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任意选取的Hankel矩阵可能不满足Koopman不变子空间的要求。对于足够的数据量，系统将收敛到一个[[吸引子]]，使得 <math>\mathbf{H}</math> 的列变得近似线性相关。在这种情况下，可以通过计算 <math>\mathbf{H}</math> 的[[SVD]]可以获得一个Koopman不变子空间。这实际上是对原本的Hankel矩阵进行了低秩近似，从而让我们可以用部分的奇异向量代替原本的Hankel矩阵进行拟合估计。对于[[Lorenz系统]]的[[吸引子]]，我们用前3个右奇异向量便重构出了原系统的大致运动情况，如图中右上角所示。

任意选取的Hankel矩阵可能不满足Koopman不变子空间的要求。对于足够的数据量，系统将收敛到一个[[吸引子]]，使得 <math>\mathbf{H}</math> 的列变得近似线性相关。在这种情况下，可以通过计算 <math>\mathbf{H}</math> 的[[SVD]]可以获得一个Koopman不变子空间。这实际上是对原本的Hankel矩阵进行了低秩近似，从而让我们可以用部分的奇异向量代替原本的Hankel矩阵进行拟合估计。对于[[Lorenz系统]]的[[吸引子]]，我们用前3个右奇异向量便重构出了原系统的大致运动情况，如图中右上角所示。

另外在实践中，对于具有混沌性质的动力系统还需要注意动力学封闭性的问题，仅靠升维可能是不够的。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227.</ref>，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战<ref name=mezic_2022>Mezić, I. (2022). On Numerical Approximations of the Koopman Operator. Mathematics, 10(7), 1180. https://doi.org/10.3390/math10071180</ref>。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171.</ref><ref name-mezic_2022 />。与其构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>p-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />。  

另外在实践中，对于具有混沌性质的动力系统还需要注意动力学封闭性的问题，仅靠升维可能是不够的。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227.</ref>，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战<ref name=mezic_2022>Mezić, I. (2022). On Numerical Approximations of the Koopman Operator. Mathematics, 10(7), 1180. https://doi.org/10.3390/math10071180</ref>。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016 /><ref name=mezic_2022 />。与其构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>p-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />。  

如上图所示，在所探索的[[Lorenz系统]]示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，也就意味着显著存在罕见的波动事件。这种外力变量的罕见变化对应于驱动 Lorenz 系统中的波瓣切换,如图中左下角红色标注的波峰所示。这种分析架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图分析 (Hankel alternative view of the Koopman，[[HAVOK]])<ref name=brunton_2017 />。

如上图所示，在所探索的[[Lorenz系统]]示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，也就意味着显著存在罕见的波动事件。这种外力变量的罕见变化对应于驱动 Lorenz 系统中的波瓣切换,如图中左下角红色标注的波峰所示。这种分析架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图分析 (Hankel alternative view of the Koopman，[[HAVOK]])<ref name=brunton_2017 />。