更改

    注意到Tij(λ) = δij；也就是，由空符号λ标志的转换是同一个。

    注意到Tij(λ) = δij；也就是，由空符号λ标志的转换是同一个。

     

     

===  ϵ-机制 ===  

===  ϵ-机器 ===  

    从历史到因果态带有标记的转换概率Tij(s)的函数ϵ组合称作过程的ϵ-机制【5，6】。

从历史到因果态带有标记的转换概率<math>T_{ij}^{(s)}</math>的函数ϵ组合称作过程的ϵ-机器【5，6】。

一个过程的ϵ-机制是有序对{ϵ，T}，其中ϵ是因果态函数而T是由ϵ定义的状态转换矩阵。

定义9（一个ϵ-机器定义）

等同地，我们或许由{S, T}表示一个ϵ-机制。

 

等同地，我们或许由{S, T}表示一个ϵ-机器。

为了符合第II节F代数要求，我们显式构造同半群理解的联系。

为了符合第II节F代数要求，我们显式构造同半群理解的联系。

命题 1（ϵ-机制是幺半群）由ϵ-机制{ϵ, T}生成的代数是带单位元的半群, 也就是，它是幺半群。

命题 1（ϵ-机器是幺半群）由ϵ-机器{ϵ, T}生成的代数是带单位元的半群, 也就是，它是幺半群。

证明。参看附录D。

证明。参看附录D。

备注。因为这个，ϵ-机制可以被解释为捕获一个过程的一般对称性。任意ϵ-机制的半群的子群是，其实，在更熟悉的意义上呈现对称。

备注。因为这个，ϵ-机制可以被解释为捕获一个过程的一般对称性。任意ϵ-机制的半群的子群是，其实，在更熟悉的意义上呈现对称。

引理 5（ϵ-机制是决定性的）对于每一个Si和s∈A，Tij(s)>0只对于那些Sj对于ϵ（s<-s)=Sj当且仅当ϵ（s<-）=Si，对于所有的过去s<-。

引理 5（ϵ-机器是决定性的）对于每一个<math>\mathcal{S}_i</math>和<math>s \in \mathcal{A}</math>，<math>T_{ij}^{(s)}>0</math>只对于那些<math>\mathcal{S}_j</math>对于<math>ϵ(\overset{\leftarrow}{s}s)=\mathcal{S}_j</math>当且仅当<math>ϵ(\overset{\leftarrow}{s})=\mathcal{S}_i</math>，对于所有的过去<math>\overset{\leftarrow}{s}</math>。

证明。这个引理是断言的等价，对所有s∈A和S<-,S<-'∈S<-，如果ϵ(s<-) = ϵ(s<-')，则ϵ(s<-s) = ϵ(s<-'s)。（s<-s是另一段历史且附属于这个或那个因果态。）

证明。这个引理是断言的等价，对所有s∈A和S<-,S<-'∈S<-，如果ϵ(s<-) = ϵ(s<-')，则ϵ(s<-s) = ϵ(s<-'s)。（s<-s是另一段历史且附属于这个或那个因果态。）

    给定一个过程的数学描述，有人可以经常计算分析它的ϵ-机制。（例如，查阅参考文献【65】中旋转系统的计算力学分析。）这里也有很多宽泛的算法可以从P(S<->)的经验模拟重构ϵ-机制。一些，比如那些在参考文献【5-7，69】中使用到的，操作在“批量”模式，将原始数据一起处理然后生成ϵ-机制。其他的可以操作在增量，处于“在线”模式，将因果态和它们的转移概率集合单独的测量和重新评估。

    给定一个过程的数学描述，有人可以经常计算分析它的ϵ-机制。（例如，查阅参考文献【65】中旋转系统的计算力学分析。）这里也有很多宽泛的算法可以从P(S<->)的经验模拟重构ϵ-机制。一些，比如那些在参考文献【5-7，69】中使用到的，操作在“批量”模式，将原始数据一起处理然后生成ϵ-机制。其他的可以操作在增量，处于“在线”模式，将因果态和它们的转移概率集合单独的测量和重新评估。

   

   

==  最佳性和唯一性 ==

==  最佳性和唯一性 ==

我们现在展示这个：因果态是最高准确度的预测器并且是最小统计复杂度的；他们在共享两者属性中是唯一的；而且他们状态到状态的转换是最小随机性的。用其他的话说，他们满足从奥卡姆借用的两个约束条件，而且他们是唯一能做到这样的表示形式。这个非常重要的寓意在这里是因果态和ϵ-机制是任何学习或模型词汇的目标。该论点由证明最优化理论的久享盛名的意义上作出。我们指出，在我们的结论备注中（第Ⅶ节），在获取这些目标中已经包含了实的例子。

我们现在展示这个：因果态是最高准确度的预测器并且是最小统计复杂度的；他们在共享两者属性中是唯一的；而且他们状态到状态的转换是最小随机性的。用其他的话说，他们满足从奥卡姆借用的两个约束条件，而且他们是唯一能做到这样的表示形式。这个非常重要的寓意在这里是因果态和ϵ-机制是任何学习或模型词汇的目标。该论点由证明最优化理论的久享盛名的意义上作出。我们指出，在我们的结论备注中（第Ⅶ节），在获取这些目标中已经包含了实的例子。