“Logistic映射”的版本间的差异

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2025年10月6日 (一) 16:06的版本


Logistic映射，又称单峰映象，是一个二次多项式映射(递归关系)，经常作为典型范例来说明复杂的混沌现象是如何从非常简单的非线性动力学方程中产生的。

Logistic映射的数学表达式为:

[math]\displaystyle{ x(t+1)=\mu x(t)(1-x(t)) }[/math]

 

 

 

 

(1)

其中，[math]\displaystyle{ t }[/math]为迭代时间步，对于任意的[math]\displaystyle{ t }[/math]，[math]\displaystyle{ x(t)\in [0,1] }[/math]，[math]\displaystyle{ \mu }[/math]为一可调参数，为了保证映射得到的[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]始终位于[0,1]内，则[math]\displaystyle{ \mu\in [0,4] }[/math]。[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]可以代表[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻某类生物种群占最大可能种群规模的比例（即现有人口数与最大可能人口数的比率）。因此，该方程可以刻画一类生物种群在环境受限的情景下的生长情况。

当变化不同的参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]时，该方程会展现出不同的动力学极限行为（即当t趋于无穷大，[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]的变化情况），包括：不动点（即最终[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]始终为同一个数值）、周期震荡（[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]会在2个或者多个数值之间跳跃)、以及混沌（[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]的终态不会重复，而会等概率地取遍某区间）。当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]超过3.65时，就会发生混沌现象。正是因为这个简单的方程蕴涵了丰富的非线性行为，因而它成为了人们认识复杂的非线性动力学现象的代表模型。


历史

历史上，对(1)式的研究展开深入研究的科学家是Robert May，并且该迭代方程以其极其简单的形式，同时能够展现出丰富复杂的非线性行为而成为示例混沌现象的代表模型。然而，事实上，早在混沌（Chaos）一词被提出之前，包括乌拉姆（Stain Ulam）和冯诺伊曼（John von Neumann）在内的多位科学家就已经展开了对(1)式的研究。本小节写作主要参考[1]

Logistic生长方程

事实上，(1)式是更早时间由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·维尔胡斯特Pierre François Verhulst提出的logistic生长方程的离散版本。

以美国人口为例，使用Logistic模型来拟合1800年后的人口数据：[math]\displaystyle{ N(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{N(0)}-1)e^{-rt}} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ K }[/math]为最大容纳量


早在1838至1847年间，Verhulst发表了三篇系列论文，并发展了有关Logistic函数（logistic function）的研究成果[2]，这些工作基于他在19世纪30年代中期在Adolphe Quetelet指导下进行的人口增长建模研究；更多细节见Logistic函数词条或者[3]。1838年，Verhulst在文献[4]中提出了Logistic生长方程，即：

[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt}=r N - \alpha N^2 }[/math]

其中[math]N(t)[/math]表示种群中时刻t的个体数量，[math]r[/math]为种群的内禀增长率，[math]\alpha[/math]为密度依赖的拥挤效应（亦称种内竞争）。在这个方程中，种群数量的不动点（有时称为环境承载量K）为：[math]N^*=\frac{r}{\alpha}[/math]。在Verhulst(1845)的文献中[5]，他将该方程的解称为Logistic曲线。后来，Raymond Pearl和Lowell Reed对该方程进行了改进，引入了一个预设的平衡量[math]K[/math]，于是， Logistic生长方程拥有了广为流传的形式：


[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right) }[/math]

 

 

 

 

(2)


这便是连续版本的Logistic生长方程，其中[math]K[/math]也可以解释为环境所能支持的最大个体数。可以直接积分求得该方程的解析解为：

[math]\displaystyle{ N(t)=\frac{K}{1+CKe^{-rt}} }[/math]

其中[math]C=1/N(0)-1/K[/math]，这里[math]N(0)[/math]为种群的初始规模。

该非线性微分方程模拟了两种种群增长中的情形:

  • 当人口规模很小时，人口将以与当前人口成比例的速度增长进行繁殖。
  • 当人口规模达到了环境的饱和容量时，人口将遭受限制，这体现为与密度有关的死亡率 ，其增长率将以与环境的”承受能力”减去当前人口所得值成正比的速度下降


该方程可以模拟人口种群在受限环境下的生长行为，例如右图展示的就是利用该方程的解拟合美国人口的增长情况。

不难看出，将方程(2)中的变量[math]N(t)[/math]除以[math]K[/math]定义为新的密度变量[math]x(t)[/math]，于是(2)式变为：[math]dx/dt=r x(t)\left(1-x(t)\right)[/math]。将导数进行时间步的离散化，即可以得到离散版本的(1)式。

然而，Logistic映射作为一种人口统计模型，存在着由特殊参数所导致的混沌现象，这种现象是不会在连续版本的(2)式中出现的。同时，该模型可以用来模拟生物种群的生长行为，所以Logistic映射也称为“虫口模型”。其中[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]可以解释为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例。

在“混沌”被命名前

在映射迭代成为动力系统研究的核心之前，数学家加斯东·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）就研究了多种复函数的迭代。特别地，他们在1920年代研究了下述复二次函数的行为，即下列复数迭代方程：

[math]\displaystyle{ z_{t+1}=z_t^2+c }[/math]

该方程中，[math]z[/math]为一个复数，[math]t[/math]代表迭代时间步，[math]c[/math]也是一个复数，它是一个不随迭代时间步而变的常数。对该方程的极限行为进行分类，即构成了朱利亚集合（Julia set）。朱利亚和法图也在朱利亚集中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，曼德布罗特(因其发现的曼德布罗特集及其他发明的分形一词而得名，这也是根据该复数迭代生成的一种集合）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为[6]。

1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文[7]，其中他们指出可以通过如下方程给出：

[math]\displaystyle{ f(x)=4x(1−x) }[/math]

他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是(1)式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。

自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为[1]。

Robert May的研究工作

后来，在20世纪70年代初，数学生物学家罗伯特·梅 Robert May在研究一个生态学问题时遇到了方程(2)的模型。May通过对该方程进行时间离散化，引入了方程(1)，即Logistic映射。他对Logistic映射的行为进行了数学分析，并于1973年和1974年发表了研究成果。随后，人们对逻辑映射进行了数值实验，以考察其行为如何随参数[math]\mu[/math]的变化而改变。

1976年，他在《自然》杂志上发表了一篇题为“具有极其复杂动力学的简单数学模型”的论文[8]。这是一篇综述性论文，重点讨论了Logistic映射，并强调并引起人们注意：即便是简单的非线性函数也能产生极其复杂的行为，例如倍周期分岔级联和混沌。由于May作为数学生物学家的地位、其研究结果的清晰性，尤其是“一个简单的抛物线方程竟能产生令人惊讶的复杂行为”这一震撼性的内容，这篇论文在学界引起了巨大反响并被广泛接受。通过May的研究，Logistic映射吸引了众多研究者投身于混沌研究，并成为一个极为著名的数学模型，甚至被认为重新启动了混沌研究的潮流。

之后的研究

May还通过使用混沌(Chaos)一词使这篇论文受到关注，这个术语由李天岩（Tien-Yen Li）和詹姆斯·约克（James Yorke）在其论文《周期三意味着混沌》中使用。尽管有人持不同意见，但李天岩与Yorke的论文被认为首次将“混沌”作为数学术语使用，并被认为创造了用“混沌”指代确定性但呈现随机混乱的行为这一概念。李天岩与Yorke在1973年完成了论文，但当他们将其投给《美国数学月刊》时，被告知论文技术性过强，需要大幅改写以便更易理解，因此遭到拒稿。论文随后被搁置未作修订。然而翌年，即1974年，May来到李天岩与Yorke就职的马里兰大学作特邀报告，谈及Logistic映射。当时，May尚未理解Logistic映射在混沌区域中究竟发生了什么，而李天岩与Yorke也尚未意识到Logistic映射的倍周期级联效应。于是，受到May报告的鼓舞，李天岩与Yorke在会后追上May，向他介绍了他们的结果，这让May感到非常惊讶。李天岩与Yorke很快重写了那篇被拒的论文，修订稿于1975年发表[9]。

从抛物线谈起

另外，大约在1975年，数理物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在考察Logistic映射的倍周期级联现象时注意到一种标度律（Scaling Law）：即分叉值按几何级数收敛，他通过数值实验发现了一个常数的存在，现称为费根鲍姆常数。May与George Oster也注意到了这种标度律，但未能深入跟进。费根鲍姆又发现，同一常数也出现在正弦映射中，并意识到这种标度律具有超越逻辑映射的普适性。1980年，Pierre Collet、Jean-Pierre Eckmann、Oscar Lanford等人给出了该结果的严格证明。与费根鲍姆同时或稍晚，物理学家们在现实系统中也发现了相同的倍周期级联现象和费根鲍姆常数，先前被视为纯数学现象的混沌由此对物理学领域也产生了重大影响。


然而，也有人批评说到：当我们回顾混沌的研究历史的时候，不应该淡化混沌这一术语在流行之前的历史研究成果，并把其中许多结果都归功于使用Logistic映射等工具的“再发现者”。May本人尊重早期研究的存在，但将自己的成就定位为并非“第一位独立发现二次映射奇异数学行为的人”，而是“最后一批强调其在科学中广泛意义的研究者”之一。数学家Robert Devaney在其著作中解释Logistic映射之前这样说道：

“这意味着，只需迭代二次函数[math]f_{\mu}(x)=\mu x(1-x)[/math]，我们就能预测初始种群[math]x_0[/math] 的归宿。这听起来很简单，但我斗胆指出，直到上世纪90年代末，经过数百位数学家的努力，人们才对这一简单二次函数的迭代有了完全的理解。”


除此之外，我国学者郝柏林先生也对Logistic映射以及非线性动力学与混沌动力学相关研究工作在中国的普及起到了不可磨灭的贡献，这体现为他的著作：《从抛物线谈起：混沌动力学引论》[10]。这是1993年由上海科技教育出版社初版，2011年推出新版，2013年北京大学出版社出版第二版，隶属于"非线性科学丛书"及"中外物理学精品书系·前沿系列"的一本著作。全书以抛物线映射（即Logistic映射）为切入点，通过倍周期分岔、切分岔等章节，解析确定论系统中的混沌现象，涵盖标度律、李雅普诺夫指数、分形分维等基础概念。 该书通过非线性模型揭示混沌内在规律，涉及标度不变性、自相似性、符号动力学等物理概念，是本不可多得的非线性动力学与混沌的中文科普著作。

Logistic映射以及主要性质

Logistic映射，即方程(1)式定义了一个持续的动力学过程，即当我们从[math][0,1][/math]之中任意取一个数值作为[math]x(0)[/math]，我们只需要持续不断地利用方程(1)式，就可以计算出任意时刻[math]x(t)[/math]的取值，这便体现为一条有关[math]x(t)[/math]的动力学轨迹。


除此之外，当我们变换参数[math]\lambda[/math]的时候，这条动力学轨迹会展现出完全不同的形态。


数值试验

为了更进一步考察参数[math]\mu[/math]对Logistic映射迭代行为（即动力学轨迹）的影响，我们可以将参数[math]\mu[/math]分为多个区间展开讨论。

首先，为了能够复现以下所有结果，我们给出了利用Mathematica软件这个迭代过程的代码如下： 

μ=0.9;x0=0.1;
NestList[μ # (1 - #) &, x0, 100]


之后，我们便可以通过分区间对[math]\displaystyle{ μ }[/math]取不同值，来分别进行讨论：


[math]\displaystyle{ 0≤μ≤1 }[/math]

图1 当[math]\mu=0.2[/math]和[math]\mu=0.9[/math]时的迭代轨迹


图1中左图表示的是当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]=0.2，右图表示的是当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]=0.9的时候方程的迭代结果。每张图都有两条曲线（蓝色和紫色），分别表示从初始值[math]\displaystyle{ x(0) }[/math]=0.1和[math]\displaystyle{ x(0) }[/math]=0.8开始得到的演化轨迹。每张图内的小图为纵坐标取对数之后的图形，可以看出系统趋向于0时候的速度，显然当[math]\displaystyle{ x(0) }[/math]=0.1的时候，速度更快。


可以观察到无论系统从何初值开始，也无论[math]\displaystyle{ \mu }[/math]取什么值，系统最终都会渐进地趋近于0。因此，当0<[math]\displaystyle{ \mu }[/math]<1时，系统的极限行为趋于0这个固定值。

也就是说，当0<[math]\displaystyle{ \mu }[/math]<1时，[math]x(t)[/math]所代表的虫口种群最终会灭亡，不论初始种群数量有多大。

[math]\displaystyle{ 1\lt μ\lt 3 }[/math]

在这个参数区间，我们又可以将[math]\mu[/math]分为两个取值区间。

  • 当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]在1到2之间，种群数量会很快接近[math]\displaystyle{ \frac{\mu-1}{\mu} }[/math],不论最初种群为何值
图2 [math]\displaystyle{ μ=1.2 }[/math]和[math]\displaystyle{ μ=2.7 }[/math]时的迭代轨迹


图2展示的是[math]\displaystyle{ \mu }[/math]=1.2，右图表示的是[math]\displaystyle{ \mu }[/math]=2.7的时候方程的迭代结果，我们看到，两种情况下，方程的迭代结果仍然收敛于固定值，分别是0.18和0.63。也就是说，这个稳定值可以随着[math]\displaystyle{ μ }[/math]发生变化。


  • 当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]在2到3之间，人口数在经历一段时间的波动后会趋于稳定值[math]\displaystyle{ \frac{\mu-1}{\mu} }[/math]其,收敛速度满足线性变化。但当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]=3时，比线性收敛还要缓慢。（详情见Bifurcation memory）


事实上，只要[math]\displaystyle{ \mu }[/math]<3，系统都会收敛到一个不动点，而这个不动点的数值可以通过求解下列方程而得到：

[math]\displaystyle{ x^*=\mu x^*(1-x^*) }[/math]

得到解为：

[math]\displaystyle{ x^*_1=0,x^*_2=\frac{\mu-1}{\mu} }[/math]

其中，[math]\displaystyle{ x^*_1=0 }[/math]对应的是[math]\displaystyle{ \mu }[/math]<1时候的不动点，[math]\displaystyle{ x^*_2=\frac{\mu-1}{\mu} }[/math]对应的是[math]\displaystyle{ \mu }[/math]>1时候的不动点。

所谓的迭代不动点，也就是：一旦出现某一个[math]\displaystyle{ T }[/math]使得[math]\displaystyle{ x(T)=x^*_1,x^*_2 }[/math]，则对任意的[math]\displaystyle{ t\gt T }[/math]都会有：[math]\displaystyle{ x(t)=x^*_1,x^*_2 }[/math]。

这就是上述两种情况。方程会收敛到不动点，并不会再产生新的[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]值。

[math]\displaystyle{ 3\lt μ\lt 3.56994 }[/math]

图3 [math]\mu=3.2[/math]以及[math]\mu=3.5[/math]时的动态轨迹
  • 当[math]\displaystyle{ μ }[/math]在3到[math]\displaystyle{ 1+\sqrt{6}\approx 3.44949 }[/math]时，在所有的初始条件下，人口数会持续在两个依赖[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的值之间近似永久振荡。


这个时候，方程的迭代会出现周期行为。随着[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的增大，周期的长度也会相应地增加。如图3所示的两种情况，左侧的周期为2，右侧的周期为4。

在图3左中，当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]为3.2的时候，图形呈现锯齿状，表明[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]在两个值之间：0.5和0.8上下徘徊。虽然从不同的初始值开始（蓝线和紫线），系统演化的轨迹并不一样，但是它们的终值却始终是0.5和0.8。


  • 当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]大约在3.44949和3.54409之间，在所有的初始条件下，虫口数将在四个值之间近似永久振荡。后一个数字是一个12次多项式的根。这一点可以在OEIS中查看A086181并验证).


图3右图展示了当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]=3.5的时候，系统在4个值上下反复跳动的情况，这四个值为：0.87-->0.4-->0.82-->0.5。蓝色的轨迹和紫色的轨迹在初始略有不同，但是最终收敛到了一起。如果进一步增加[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值，系统还会呈现出更多的周期，包括8周期、16周期……。

[math]\displaystyle{ μ=3.56995 }[/math]

图4 [math]\mu=3.56995[/math]时的动态轨迹


事实上，从[math]\displaystyle{ \mu\gt 3.54 }[/math]以后，系统震荡的周期就变得越来越长。

  • 如图4所示，当[math]\displaystyle{ \mu\approx 3.56995 }[/math]（在OEIS中的A098587）,出现混沌现象，在倍周期级联的末端。在所有的初始条件下，不再观察到有限周期内的振动。 随着时间的推移，初始种群数的微小变化会产生明显不同的结果，这是混沌的主要特征。


  • 当[math]\displaystyle{ \mu\gt 3.56995 }[/math]的值大多表现出混沌行为，但仍有一定的孤立范围表现出非混沌行为:这些岛屿有时被称为稳定岛。例如，从[math]1+\sqrt{8}\approx 3.82843[/math]开始，[11] 有一个参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的范围，在此范围内，[math]x(t)[/math]表现为在3个值之间振荡，在稍高的[math]\displaystyle{ \mu }[/math]取值上，[math]x(t)[/math]表现为在6个值之间振荡，然后在更高的[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值上，[math]x(t)[/math]表现为12个值之间振荡，等等。


直到大概3.6的时候，周期长度趋向于无穷大，此时，系统开始了混沌状态。随着系统的演化，[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]的值会一直在0.3到0.9之间徘徊，没有固定的周期，而且行为很随机。不同的初始状态演化的轨迹也不重合。可以统计不同时刻的[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]值在区间[0.3,0.9]之上的统计分布，如图5所示。


图5 对于[math]\mu=3.56995[/math]时的一次较长的模拟结果

图5中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计概率分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌现象。

[math]\displaystyle{ 3.56995\lt μ\lt 4 }[/math]

当参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]从大约3.56995变化到3.82843时，Logistic映射的混沌行为的发展过程有时被称为the Pomeau–Manneville scenario，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。[12] 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于[math]\displaystyle{ \mu }[/math]。

带参数[math]\displaystyle{ c }[/math]的倍周期（如[math]\displaystyle{ c=3 }[/math]，则周期为3、6、12……）是由一系列子序列组成的[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值范围。第k个子区间包含了[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的值，其中有一个[math]\displaystyle{ 2^{k}c }[/math]的稳定周期(一个周期吸引了一组单位测度的初始点)。这个子范围的序列称为谐波级联cascade of harmonics。[13]

在另一个稳定周期为[math]\displaystyle{ 2^{k^*}c }[/math]的子范围内，所有[math]\displaystyle{ k \lt k^* }[/math]都存在周期为[math]\displaystyle{ 2^{k}c }[/math]的不稳定周期。在无限子区间序列末端的[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值称为谐波级联的积累点。随着[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的升高，出现了一系列具有不同[math]\displaystyle{ c }[/math]值的新窗口。第一个是[math]\displaystyle{ c= 1 }[/math];所有包含奇数[math]\displaystyle{ c }[/math]的后续窗口都以[math]\displaystyle{ c }[/math]的递减顺序出现，以任意大的[math]\displaystyle{ c }[/math]开始。[13][14]


当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上取得均匀分布。

可以以动图的方式，绘制出不同参数情况下，Logistic映射的迭代轨迹所展现的样子：

Logistic迭代在不同参数取值，同样的初始条件下得到的动力学轨迹以及该轨迹信号的频谱图

不同参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]下的极限行为

为了概括上述各种数值模拟试验的结果，我们用下面的相图来表示不同[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值对应的极限行为：

图6 Logistic映射在不同[math]\mu[/math]取值情况下的极限行为与分叉图（图中的r即[math]\mu[/math]，图片来源：wikipedia的Logistic map词条）

图6中显示的每一个参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]所对应的迭代的极限行为。在相同的参数下，我们通过从不同的初始值（共有1000个）开始迭代足够多的次数（T=2000次），记录下这些数据点对应的[math]\displaystyle{ x(T) }[/math]值。为了让显示效果更好看，我们对处于相同区域的数据点进行了归并，从而可以用某一点灰度的大小来表示该区域数据点的多少。最后的Mathematica代码如下所示： 

interval = 0.001;
results = Reverse[Transpose[Table[
   logisticValues = 
    Table[Nest[a # (1 - #) &, RandomReal[], 2000], {1000}];
   intervals = Table[i, {i, 0, 1 - interval, interval}];
   result = BinCounts[logisticValues, {0, 1, interval}]/1000;
   Log[result + 0.001]
   , {a, 2.9, 4, 0.001}]]];
gradraft = 
ArrayPlot[70 + 10 results, FrameLabel -> {"x(T)", "\[Mu]"}, 
 FrameTicks -> {Table[{i, N[(i - 1)/(Length[results] - 1)]}, {i, 
     0.1*(Length[results] - 1) + 1, 
     0.9 (Length[results] - 1) + 1, (Length[results] - 1)/4}], 
   Table[{i, 
     N[2.9 + (i - 1)*(4 - 2.9)/(Length[results[[1]]] - 1), 
      1]}, {i, (3 - 2.9) (Length[results[[1]]] - 1)/(4 - 2.9) + 1, 
     Length[results[[1]]], (Length[results[[1]]] - 1)/5}]}]

其中1000为初始值的个数，2000为迭代的时间步。interval为区域的划分尺度。

特殊情况下的解析解

[math]\displaystyle{ \mu }[/math] = 4的特殊之处与[math]\displaystyle{ \mu }[/math]= 2相同，我们可以直接获得方程(1)式的精确解，[15] 虽然，一般情况只能通过统计来预测。[16]

[math]\displaystyle{ \mu=2 }[/math]

当[math]\displaystyle{ \mu =2 }[/math]时，我们可以解出方程(1)式的精确解为：[17]

[math]\displaystyle{ x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x(0))^{2^{t}} }[/math]


对于[math]\displaystyle{ x(0) \in [0,1) }[/math]。此解没有混沌的特性。由于对不包括不稳定的不动点0在内的[math]\displaystyle{ x(0) }[/math]，当[math]\displaystyle{ t }[/math]趋近无限大时，[math]\displaystyle{ (1-2x(0))^{2^{t}} }[/math]会趋近于零，因此[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]会趋近稳定的不动点[math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}. }[/math]。

[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]

比较有趣的情形发生在[math]\displaystyle{ \mu= 4 }[/math]的情形，此时，方程的精确解为：[15][18]

[math]\displaystyle{ x(t)=\sin^{2}\left(2^{t} \theta \pi\right) }[/math]

 

 

 

 

(3)


其中[math]\displaystyle{ \theta }[/math]可以由初始值[math]\displaystyle{ x(0) }[/math]给出：

[math]\displaystyle{ \theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}\left(\sqrt{x(0)}\right). }[/math]


如果[math]\displaystyle{ \theta }[/math]取值为有理数，则(1)式经过有限次数的迭代后[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]就会变成一个周期性的数列。

不过，由于在区间[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]上有理数的测度为0，所以几乎所有的[math]\displaystyle{ \theta }[/math]都是无理数。此时，[math]\displaystyle{ x(t) }[/math]就不会出现重复，因此没有周期解。

从解(3)式，我们可以清楚地看出混沌映射的两个重要特征：拉伸及折叠。其中，系数[math]\displaystyle{ 2^t }[/math]表现为一种对[math]\theta[/math]作用的指数增长的拉伸。因此，这种拉伸操作会造成蝴蝶效应，也就是对初始值的高度依赖敏感性。而解(3)式中包括的正弦函数的平方这一操作，则会使得映射的解被压缩在[0,1]区间范围内，这便是折叠的效应。


对于[math]\displaystyle{ \mu }[/math]= 4，我们用复数代替三角函数的等价解为：[17]

[math]\displaystyle{ x(t)=\frac{-\alpha^{2^t} -\alpha^{-2^t} +2}{4} }[/math]


其中，[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]也是复数


其模为1，正如三角函数中的平方正弦函数不会导致点集的缩小或扩大，在后者的解决方案中，可通过[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]的单位模来实现该种结果。


[math]\displaystyle{ \mu =4 }[/math]时，几乎所有的初值都会使Logistic映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使Logistic映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使Logistic映射的周期为正整数。可以利用Logistic映射和移位映射(Dyadic transformation)之间的关系来找出任何周期的循环。若[math]\displaystyle{ x }[/math]依照Logistic映射[math]\displaystyle{ x(t+1) = 4 x(t)(1-x(t)) }[/math]，而[math]\displaystyle{ y(t) }[/math]依照移位映射


[math]\displaystyle{ y(t+1)=\begin{cases}2y(t) & 0 \le y(t) \lt 0.5 \\2y(t) -1 & 0.5 \le y(t) \lt 1, \end{cases} }[/math]


则这两个变量之间的关系如下：

[math]\displaystyle{ x(t)=\sin^{2}(2 \pi y(t)) }[/math].


当[math]\displaystyle{ y }[/math]以二进制表示时，映射会将二进制的数字左移一位（若左边的二进制点为1，则这个1会变为0），该种映射也称为二元转换或移位映射。例如，如果迭代的二进制扩展中有一个3位重复序列(并不是一个1位重复序列)，则会发生长度为3的循环。迭代001001001…映射到010010010…，映射到100100100…，反过来又映射成原来的001001001…;这是一个3循环的移位图。另外三个二值展开重复序列给出了三周期循环110110110…→101101101…→011011011…→110110110。这些循环小数都可以转换为对应的分数，第一个给定的周期为3的循环小数若以分数表示则为：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。


将其转换到[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]的Logistic映射后，所得到的Logistic映射序列的循环为0.611260467... →0.950484434... →0.188255099... →0.611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为Logistic映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的Logistic映射。


对于[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]的Logistic映射，（最小）长度为k = 1，2，3，…的周期数量构成了一个整数序列（OEIS中的A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161……。这个序列告诉我们，[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]的Logistic映射具有2个不动点（周期为1的循环），长度为2时的周期个数只有1个，长度为3时的周期个数为2，依此类推。更一般的，对于素数k作为长度，则我们可以得到周期个数为：[math]\displaystyle{ 2\cdot\frac{2^{k-1}-1}{k} }[/math]。例如：[math]\displaystyle{ 2\cdot\frac{2^{13-1}-1}{13} }[/math]是长度为13的周期个数。由于在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

不论[math]\displaystyle{ \mu }[/math]取何值，Logistic映射最多有一个稳定的周期。我们知道，如果一个迭代映射存在一个稳定的周期，那么该映射就是全局稳定的，吸引了几乎所有的点。[19]因此，一些具有周期稳定循环的[math]\displaystyle{ \mu }[/math]在某些时候会有无穷多个不同周期的不稳定循环。

分岔行为

图6很好地总结了Logistic映射的分岔行为。图中，横轴表示参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的可能值，纵轴表示x的一组值，通过与该[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值的Logistic映射的迭代，从初始条件中一步步接近所得到的x一组值。


分岔图具有自相似性：如果我们把上面提到的[math]\displaystyle{ μ }[/math]≈3.82843的图像放大，然后把焦点放在这三个值中的一个上，那么附近的情况看起来就像是整个图的缩小和略微扭曲的版本。这同样适用于所有其他非混沌点。这是混沌和分形之间深刻而普遍的联系的一个例子。


二分周期点

观察图6，我们发现，随着[math]\displaystyle{ \mu }[/math]逐渐增大，系统迭代的周期会逐渐增多，从1个变2个，2个变4个，……。我们将这些周期分岔点所对应的[math]\displaystyle{ \mu }[/math]参数值记为[math]\displaystyle{ \mu_1,\mu_2,\cdot\cdot\cdot }[/math]。我们会发现，这些点之间的间距，即[math]\displaystyle{ \mu_{i+1}-\mu_{i} }[/math]会变得越来越小。那么，这些点是如何确定的呢？

我们知道，迭代方程[math]\displaystyle{ x(t+1)=\mu x(t)(1-x(t)) }[/math]决定了系统的一切行为。因此，它也必然决定了这些分岔点所对的位置。事实上，通过求解迭代方程的不动点，我们便能求出这些分岔点。

如果迭代的极限点只有一个，那么，我们事实上可以通过求解下述方程得到这个不动点：

[math]\displaystyle{ x^*=\mu x^*(1-x^*) }[/math]


同样的道理，当迭代方程的极限行为出现两个周期点的时候，我们不妨设这两个点分别为[math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math]，则从[math]\displaystyle{ x_1 }[/math]开始一步迭代应该能得到[math]\displaystyle{ x_2 }[/math]，而从[math]\displaystyle{ x_2 }[/math]开始迭代又得到[math]\displaystyle{ x_1 }[/math]，周而复始，因此，我们可以列出方程：

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ll} x_2=f(x_1),&\\ x_1=f(x_2).& \end{array}\right. }[/math]


其中，我们定义[math]\displaystyle{ f(x)\equiv\mu x (1-x) }[/math]。如果将[math]\displaystyle{ x_2=f(x_1) }[/math]代入第二个方程，那么上述方程组相当于求解：

[math]\displaystyle{ x^*=f(f(x^*))= f^{(2)}(x^*)=\mu^2 x^* - \mu^2 (x^*)^2 - \mu^3 (x^*)^2 + 2 \mu^3 (x^*)^3 - \mu^3 (x^*)^4 }[/math]


显然，这是一个一元四次方程，我们可以求解该方程得到四个解：

[math]\displaystyle{ x_1^*=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu}+\frac{\sqrt{-3-2\mu+\mu^2}}{\mu}),x_2^*=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu}-\frac{\sqrt{-3-2\mu+\mu^2}} {\mu}),x_3^*=0, x_4^*=\frac{\mu-1}{\mu} }[/math]


其中第3个是和第4个是Logistic映射（即x(t+1)=f(x(t))）的不动点。我们知道，如果[math]\displaystyle{ x^* }[/math]是迭代方程1的不动点，那么，[math]\displaystyle{ x^* }[/math]一定也是二次迭代映射（即[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]）、四次迭代映射（即[math]\displaystyle{ f^{(4)} }[/math]），……的不动点。所以，后两个解并非我们要求的二周期点。而第1和第2个解才是真正的二分周期点。我们可以代入下两个式子验证：

[math]\displaystyle{ x_1^*=f(x_2^*),x_2^*=f(x_1^*) }[/math]。


为了让这2个解有意义，[math]\displaystyle{ \mu }[/math]必须使得根号中的式子大于0，也就是[math]\displaystyle{ -3-2\mu+\mu^2\gt 0 }[/math]，于是可以推得：

[math]\displaystyle{ \mu\gt 3 }[/math]或者[math]\displaystyle{ \mu\lt -1 }[/math]


因为[math]\displaystyle{ \mu }[/math]始终在范围[0,4]之内，因此，只要[math]\displaystyle{ \mu\gt 3 }[/math]就会存在二分周期点。并且，我们可以画出这两个解[math]\displaystyle{ x_1^*,x_2^* }[/math]随[math]\displaystyle{ \mu }[/math]而变的图形：


图7 求得的二分周期点随[math]\mu[/math]变化的图

其中，下面蓝色曲线为[math]\displaystyle{ x_1^* }[/math]，上面的为[math]\displaystyle{ x_2^* }[/math]。与图6相比，图7显然夸大了二分周期点的存在范围。看来，我们不能仅仅根据满足迭代关系这一个条件来确定二分周期点发生的参数区间。

由动力学中的参数的变化，所引起的系统的极限行为的变化（例如，由不动点转变为了二周期循环），就被人们称为分岔现象。[math]\displaystyle{ \mu=3 }[/math]恰是一个分岔点，当[math]\displaystyle{ \mu\lt 3 }[/math]的时候，前两个解退化成了一个解，这一个解恰是[math]\displaystyle{ x(t+1)=f(x(t)) }[/math]的不动点，因此，[math]\displaystyle{ \mu=3 }[/math]刚好就是图6中，由不动点过渡到2周期点的分岔点。

二分周期点的稳定性

仔细分析会发现，如果系统的极限行为要产生二分周期点，除了需要满足迭代关系之外，还需要满足稳定性条件。也就是说从周期点[math]\displaystyle{ x_1^* }[/math]或者[math]\displaystyle{ x_2^* }[/math]邻近的点出发，系统经过几步迭代仍然能回归到这两个周期点之一，而不能跑掉。于是，这就给参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]设置了更加苛刻的条件。

下面，我们来对该迭代方程在二分周期点[math]\displaystyle{ x_1^*,x_2^* }[/math]附近做稳定性分析。首先，我们知道如果[math]\displaystyle{ x^* }[/math]是二分周期点，那么必然有：

[math]\displaystyle{ x^*=f(f(x^*))=f^{(2)}(x^*) }[/math]


我们对[math]\displaystyle{ x^* }[/math]做微扰，即把[math]\displaystyle{ x^* }[/math]加上小量[math]\displaystyle{ \epsilon(t) }[/math]再代入迭代方程，得到的新点应该仍然在[math]\displaystyle{ x^* }[/math]点附近，因此：

[math]\displaystyle{ x^*+\epsilon(t+1)=f^{(2)}(x^*+\epsilon(t)) }[/math]

这里，[math]\displaystyle{ \epsilon(t) }[/math]定义为[math]\displaystyle{ x(t)-x^* }[/math]，

我们将方程右侧在[math]\displaystyle{ x^* }[/math]附近做泰勒展开，并求一级近似。得到：

[math]\displaystyle{ f^{(2)}(x^*+\epsilon(t))\approx f^{(2)}(x^*)+\frac{\partial f^{(2)}(x)}{\partial{x}}\mid_{x=x^*}\epsilon(t) }[/math]


于是，代入迭代方程：

[math]\displaystyle{ x^*+\epsilon(t+1)\approx f^{(2)}(x^*)+\frac{\partial f^{(2)}(x)}{\partial{x}}\mid_{x=x^*}\epsilon(t) }[/math]


因为[math]\displaystyle{ x^*=f^{(2)}(x^*) }[/math]，所以：

[math]\displaystyle{ \epsilon(t+1)=\frac{\partial f^{(2)}(x)}{\partial{x}}\mid_{x=x^*}\epsilon(t) }[/math]


于是：

[math]\displaystyle{ \frac{\epsilon(t+1)}{\epsilon(t)}=\frac{\partial f^{(2)}(x)}{\partial{x}}\mid_{x=x^*} }[/math]


因此，要让小扰动[math]\displaystyle{ \epsilon(t) }[/math]不会对系统后续的演化轨道造成太大的偏离，就必须让新的[math]\displaystyle{ \epsilon(t+1) }[/math]随着迭代越来越小，也就是让上式小于1，


将已经求得的二分周期点[math]\displaystyle{ x_{1,2}^* }[/math]代入上式，进行化简、去除不合理的参数范围，得到[math]\displaystyle{ \mu }[/math]需要满足如下不等式：

[math]\displaystyle{ 3\lt \mu\lt 1+\sqrt{6} }[/math]


也就是说，在这个参数范围内，迭代方程存在着两个稳定的二周期极限点。对照图6，我们实际上已经求得了二分周期的启始和终止位置[math]\displaystyle{ \mu_1=3,\mu_2=1+\sqrt{6} }[/math]。

其它的倍分周期点

接下来，我们可以利用同样的方法求解稳定的4周期点，只需要求解[math]\displaystyle{ f^{(4)} }[/math]的稳定不动点，由此给出参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的范围。

一般地，对于[math]\displaystyle{ 2^p }[/math]周期点，其中[math]\displaystyle{ p }[/math]是任意大于等于0的整数，我们只需要求解如下方程：

[math]\displaystyle{ x^*=f^{(2^p)}(x^*) }[/math]


并要求此不动点是稳定的，即：

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}\partial{f^{(2^p)}}\end{vmatrix}\lt 1 }[/math]

就可以相应地求出参数的范围，即[math]\displaystyle{ \mu_{p},\mu_{p+1} }[/math]。

更一般地，如果我们需要获得[math]\displaystyle{ q\geq 1 }[/math]周期点，就需要对[math]\displaystyle{ f }[/math]映射进行[math]\displaystyle{ q }[/math]次迭代，即得到[math]\displaystyle{ f^{(q)} }[/math]，并针对该曲线求得不动点：具体就是该曲线[math]\displaystyle{ f^{(q)} }[/math]与对角直线[math]\displaystyle{ y=x }[/math]的交点（如图8）。由于当[math]\displaystyle{ q=1 }[/math]的时候，[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]展现为一个向下开口的二次抛物曲线（如图8之中的蓝色的曲线，即是当[math]\displaystyle{ \mu=3.5 }[/math]时候的映射函数）。那么，对于更一般的[math]\displaystyle{ q\geq 1 }[/math]，[math]\displaystyle{ f^{(q)}(x) }[/math]就相应地成为扭曲更为厉害的映射曲线。图8中的其它颜色曲线就分别对应了[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]、[math]\displaystyle{ f^{(3)} }[/math] 、[math]\displaystyle{ f^{(4)} }[/math]和 [math]\displaystyle{ f^{(5)} }[/math]。

图8 Logistic映射[math]\displaystyle{ f }[/math] (blue)及其迭代版本[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]、[math]\displaystyle{ f^{(3)} }[/math] 、[math]\displaystyle{ f^{(4)} }[/math]和 [math]\displaystyle{ f^{(5)} }[/math]>, 其中[math]\displaystyle{ \mu= 3.5 }[/math] 。

混沌与Logistic映射

根据混沌动力学理论，一个一维映射之所以可以在多次迭代之后产生混沌现象，即对于初始值的敏感特性，就是因为，这种映射往往同时存在着拉伸和折叠这两种力量。其中拉伸的作用可以使得一个区间上的点被映射作用之后会迅速地被分开，而折叠效应又可以将本已被广泛拉伸的点再次折叠起来，从而让这些点可能以一种全新的方式重新混合，这就是为什么简单的类似Logisitic这样的映射可以产生混沌现象的原因。

和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。[math]\displaystyle{ \mu }[/math]是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射展现出混沌特性。[8] 在这样的参数范围内，Logistic映射同样也展现出了对区间(0,1)拉伸与折叠的作用效果，这是使得该映射会产生对初始条件有高度灵敏度的重要原因,也是其表现出来混沌特性的本质。[6]

图9：二维和三维的庞加莱图显示了Logistic映射的拉伸和折叠结构


如图9所示中，该图中的右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。图9左显示了Logistic映射在[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]的条件下的二维庞加莱截面图，它清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图，我们可以看出一些Logistic映射的特性。以[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，我们可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是斜率较大位置的几个点。


此外，为了研究Logistic映射的更深层结构。 图9右展示了在最初靠近的若干点是如何在映射的作用下开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] 区域。


拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时的Logistic映射的复杂性及不可预测性加以说明。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加，导致迭代结果出现很大的误差。因此当对于初始状态的取值存在有微小的误差时．人们对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。这种不可预测性和明显的随机性使得人们可以在早期的计算机中利用Logistic方程生成伪随机数。[6]


由于映射的函数值收敛于某一特定值，人们可以推断出混沌吸引子（即在出现混沌现象的参数下，从随机的一组初始值开始，经过无限次迭代所构成的点的集合）的维度小于或等于1。依数值分析的结果，在[math]\displaystyle{ \mu=3.5699456... }[/math]时（刚开始混沌特性时），该混沌吸引子的关联维度为0.500 ± 0.005（Grassberger,1983）、豪斯多夫维数大约是0.538(Grassberger 1981)，而分形维数为0.5170976...（Grassberger,1983），还可得知关联维度进一步精确在0.4926和0.5024之间。


有些混沌系统允许人们可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率测度描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以[math]\displaystyle{ \mu=4 }[/math]的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率测度对应参数[math]\displaystyle{ \alpha=0.5 }[/math],[math]\displaystyle{ \beta=0.5 }[/math]的[[[math]\displaystyle{ \beta }[/math]分布]][20]，其不变测度为：

[math]\displaystyle{ {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}} }[/math]。

不可预期性和随机性并不一样，不过在一些情形下这二者很类似。 因此，幸运的是，即使我们对Logistic映射(或其他混沌系统)的初始状态知之甚少，我们仍然可以断定一些关于系统状态在任意时刻未来的状态空间中的概率分布的信息，并参考一些其它信息来判断系统的状态从而做出判断。

费根鲍姆常数

费根鲍姆常数是刻画Logistic映射乃至更普适的更一般的一维函数映射中有关分岔现象中的自相似性的重要普适常数。

自相似性

这个Logistic映射的分岔图具有明显的自相似性：

图10：分岔图的自相似性


可以看到在两个分岔点[math]\displaystyle{ \mu_n }[/math]与[math]\displaystyle{ \mu_{n+1} }[/math]之间的区域，图形是自相似的两个“小山头”。

为了刻画这种自相似性，费根鲍姆引入了两个比例数值，分别是费根鲍姆第一、第二常数。

第一费根鲍姆常数：[math]\displaystyle{ \delta }[/math]

由于倍分周期点所对应的参数值序列[math]\displaystyle{ \mu_1,\mu_2,\mu_3,\cdot\cdot\cdot }[/math]彼此之间的间隔会变得越来越小，而且似乎呈现出按照指数衰减的趋势。可以如下定义：

[math]\displaystyle{ \delta_n=\frac{\mu_{n-1}-\mu_{n-2}}{\mu_{n}-\mu_{n-1}} }[/math]

来刻画这个区间长度逐渐变小的速度。下面是相应的数值计算：

n 周期 分岔参数 ([math]\displaystyle{ \mu_n }[/math]) 比例 [math]\displaystyle{ \delta_n=\dfrac{\mu_{n-1}-\mu_{n-2}}{\mu_n-\mu_{n-1}} }[/math]
1 2 3 N/A
2 4 3.4494897 N/A
3 8 3.5440903 4.7514
4 16 3.5644073 4.6562
5 32 3.5687594 4.6683
6 64 3.5696916 4.6686
7 128 3.5698913 4.6692
8 256 3.5699340 4.6694

可以明显的看到，[math]\displaystyle{ \delta_n }[/math]会越来越趋近一个常数：4.6694，人们把这个常数计作[math]\displaystyle{ \delta }[/math]，并命名为费根鲍姆常数(第一常数），用来纪念他的发现者，美国物理学家费根鲍姆，它的精确值可以写作：

[math]\displaystyle{ \delta=4.6692016091029906718532038\cdot\cdot\cdot }[/math]

第二费根鲍姆常数：[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]

除此之外，在这个简单的Logistic映射中，费根鲍姆还发现了第二个普适常数可以用来刻画分岔图的自相似性。 如图10中，我们可以定义第p个周期点第q个分岔的高度为[math]\displaystyle{ l_{p,q} }[/math]，其中横坐标的选取是迭代映射在第p个周期分岔中满足超稳定不动点条件的特殊的参数[math]\displaystyle{ \mu }[/math]值，该数值[math]\displaystyle{ \hat{\mu_p} }[/math]为满足下列方程的解：

[math]\displaystyle{ (\frac{\partial{f^{(2^p)}(\mu,x)}}{\partial{x}})|_{x=x^*}=0 }[/math]


其中，[math]\displaystyle{ f(\mu,x)=\mu x(1-x) }[/math], [math]\displaystyle{ x^* }[/math]是[math]\displaystyle{ 2^p }[/math]周期迭代的不动点，即方程[math]\displaystyle{ f^{(2^p)}(x^*)=0 }[/math]的解。例如，在Logistic映射中，如果p=1，则：[math]\displaystyle{ \hat{\mu_p}=1+\sqrt{5} }[/math]。由这些[math]\displaystyle{ \hat{\mu_p} }[/math]代入不动点方程，就可以求出相应的高度。


费根鲍姆发现，沿着任意一个分岔的分支行走，任意两个相邻分支的高度之比，例如图10中的[math]\displaystyle{ l_1/l_{2,1} }[/math]的极限为常数α。这个常数称为费根鲍姆第二常数，近似值为[math]\displaystyle{ \alpha=2.5029 }[/math]。

普适性

更有趣的是，费根鲍姆常数[math]\displaystyle{ \delta }[/math]不仅仅对于Logistic映射方程成立，它对一类映射方程：[math]\displaystyle{ x(t+1)=f(x(t)) }[/math]都成立，并且取同样的值。其中[math]\displaystyle{ f(x)=a g(x) }[/math]，[math]\displaystyle{ a }[/math]为常数，[math]\displaystyle{ g(x) }[/math]为[0,1]区间上的类Logistic函数。例如，对于迭代方程：

[math]\displaystyle{ f(x)=a-x^2=a(1-\frac{x^2}{a}). }[/math]

也可以计算得到相同的费根鲍姆常数：

n 周期 分岔参数 (an) 比例 [math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}} }[/math]
1 2 0.75 N/A
2 4 1.25 N/A
3 8 1.3680989 4.2337
4 16 1.3940462 4.5515
5 32 1.3996312 4.6458
6 64 1.4008287 4.6639
7 128 1.4010853 4.6682
8 256 1.4011402 4.6689

又比如函数[math]\displaystyle{ f(x)=a x(1-x^2) }[/math]，可以计算得到：

n ! 周期! 分岔参数 (an)! 比例 [math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}} }[/math]
1 2 2.121 N/A
2 4 2.263 N/A
3 8 2.294 4.665
4 16 2.300 4.668
5 32 2.301 4.669
6 64 2.302 4.669

甚至于不一定是二次函数，只要映射函数的形状与Logistic映射类似，那么该映射也会展现出类似Logistic的特性。例如具有类似抛物形状的极大值 [21] 的一维映射[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]：

[math]\displaystyle{ f(x):= G x (1 - \tanh (x)) }[/math]

该映射可作为离散激光的动力学模型，其中，[math]\displaystyle{ x }[/math]可以代表电场振幅，[math]\displaystyle{ G }[/math]为为激光增益分岔参数。

容易观察到，该映射其具有与Logistic映射类似的性质，当[math]\displaystyle{ G }[/math]在区间[math]\displaystyle{ [0，\infty) }[/math]中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，[22] 其分岔图在某些性质上与Logistic映射相同。

除此之外，该映射也有相同的费根鲍姆常数（包括[math]\displaystyle{ \delta }[/math]=4.669201...,[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]=2.502907...）[23]。[24]。

由此，可见费根鲍姆常数具有很强的普适性。

重整化群方程与费根鲍姆常数

通过图像可以观察到，Logistic迭代的倍分岔图产生了自相似的现象，即从2p周期到2p+1周期的小山峰彼此相似。这种自相似性可以用费根鲍姆常数[math]\displaystyle{ \delta }[/math]和[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]刻画。一般通过重整化方法得到两个常数的精确解，且发现对于不同方程的迭代，会得到同样的费根鲍姆常数。重整化方法可以根据系统所具备的自相似性，写出重整化方程，从而给出相变点的精确位置以及临界指数。这种方法在渗流模型，ISING模型中得到了成功的应用。因为在Logistic迭代中也存在着自相似现象，因此，也可以利用重整化的思路。

时间上的尺度变换

重整化方法涉及到用多个不同的尺度来观察系统，从而抓住尺度变换过程中不变性。对于一维的迭代系统：

[math]\displaystyle{ x(t+1)=f(x(t)) }[/math]


时间 t 相当于空间，该映射可以得到一系列不同时刻的点[math]\displaystyle{ x(1) }[/math]，[math]\displaystyle{ x(2) }[/math]，……。假如进行放大尺度，忽略掉一些信息，即不是以1为间隔进行采样，而是以2为间隔进行，就会得到：[math]\displaystyle{ x(1) }[/math]，[math]\displaystyle{ x(3) }[/math]，[math]\displaystyle{ x(5) }[/math]，……。因此这个粗粒化的序列相当于按照如下方程进行迭代而成：

[math]\displaystyle{ x'(t+1)=f(f(x'(t))=f^{(2)}(x'(t)) }[/math]


所以，对Logistic迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]变换成[math]\displaystyle{ f^{(2)}(x) }[/math]。而迭代法则[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]在尺度变换下，即[math]\displaystyle{ f(x)\rightarrow f^{(2)}(x) }[/math]是否具有某种不变的形式。如果迭代法则[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]就像ISING模型中的配分函数，起到了主导的作用。


迭代法则的自相似性

可以将不同时间尺度下的[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]图像画出来进行直观地比较，透彻分析迭代法则[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]在尺度变换下的自相似性质。首先，画出[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]当[math]\displaystyle{ \mu=\hat{\mu^{(1)}}=2 }[/math]的时候，[math]\displaystyle{ f^{(2)}(x) }[/math]在[math]\displaystyle{ \mu=\hat{\mu^{(2)}}=1+\sqrt{5} }[/math]的时候的函数图像（其中[math]\displaystyle{ \hat{\mu^{(p)}} }[/math]为满足相应第p重迭代函数的超稳定周期条件:[math]\displaystyle{ \frac{\partial{f^{(p)}(\hat{\mu^{(p)}},x)}}{\partial x}|_{x=x^*}=0 }[/math]下对应的参数值）。函数图如下：

图14 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]与[math]\displaystyle{ f^{(2)}(x) }[/math]


可以在这种“超稳定”的参数下观察函数的自相似性，如图2所示，不同小山峰之间彼此相似，而每个倍分周期的超稳定参数点刚好位于小山峰的“中心”位置，所以，该点附近的迭代法则的相似性就直接对应了不同小山峰之间的相似性。在上图中，右图中的绿色区域刚好和左图全体相似，就好像把左图上下颠倒、左右颠倒，再缩小一定比例[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]（一个固定的常数，后面可以求出），就得到了右图。


同理再看[math]\displaystyle{ f^{(2)}(x) }[/math]与[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x) }[/math]之间的相似性，如图15中两张图所示。

图15 [math]\displaystyle{ f^{(2)}(x) }[/math]与[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x) }[/math]

对于[math]\displaystyle{ f^{(2)}(x) }[/math]与[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x) }[/math]，可以画出当[math]\displaystyle{ \mu }[/math]在相应的超稳定周期参数的时候的函数图像。右上图中的蓝色和红色区域刚好与左上图中的蓝色和红色区域相似。它们也是上下颠倒，再进行缩放变换、左右颠倒。如果选择右上图中的蓝、红色区域进行放大得到右下图，同样将左上方图的染色区域放大得到左下图。另外，如果将坐标系原点移到了中心位置（即[math]\displaystyle{ f(x)=\mu x(1-x) }[/math]最大值所对应的位置(0.5,0.5)）。


图形变换与相似性

我们可以把这种图形变化用数学来表示。为了让图15中右下子图和左下子图彼此相似，我们需要对右下子图进行水平、竖直翻转、缩放（以(0.5,0.5)为轴）才能与左下图重合。也就是：

[math]\displaystyle{ f^{(2)}\rightarrow -\alpha f^{(4)}(\hat{\mu_2},-\frac{x}{\alpha}) }[/math]

其中箭头的意思表示对应关系，或者相似关系，也就是说[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]这个函数图形与[math]\displaystyle{ f^{(4)} }[/math]经过缩放、翻转之后的图形相似。


如果我们不停地画出更高阶的函数图像[math]\displaystyle{ f^{2^p}(x),f^{2^{p+1}}(x),\cdot\cdot\cdot }[/math]，都能发现它们与p+1阶的函数图像都有上述自相似关系，也就是：

[math]\displaystyle{ f^{(2^p)}\rightarrow -\alpha f^{(2^{(p+1)})}(\hat{\mu_2},-\frac{x}{\alpha}) }[/math]


重整化

上一节仅仅针对Logistic迭代，然而，对于其他的单峰函数，也有类似的自相似性，以及不同阶映射法则之间的图形变换对应。更普遍的是，可以把不同阶映射法则的自相似性作为一个前提而非最终的观察结果来引入，从而反过来求解什么样的函数[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]才会具有这种性质。最终发现[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]函数的具体性质并不重要，有相当一大类函数都可以最终得到同样的自相似性结果。而费根鲍姆常数也跟具体的迭代函数[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]无关，而仅仅与所要求的系统具备的自相似性质有关。


事实上，如果从不同时间尺度来考察迭代系统的行为，那么迭代函数的自相似要求就变成了重整化群方程。而最终满足重整化方程的函数集合实际上就是重整化理论中的普适类。


重整化群方程

下面，将不同阶迭代法则之间的相似几何关系作为一个基本要求。即对于任意的迭代法则[math]\displaystyle{ f(\mu,x) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ f(\mu,x) }[/math]可以写为[math]\displaystyle{ f(\mu,x)=\mu g(x) }[/math]，[math]\displaystyle{ g(x) }[/math]为[0,1]内的单峰函数，要求它在变换R下不变。其中R为对函数[math]\displaystyle{ f }[/math]进行一系列操作：

(1) 从[math]\displaystyle{ f }[/math]得到[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]：[math]\displaystyle{ f^{(2)}=f(f(\hat{\mu_1},x)) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ \hat{\mu_1} }[/math]为[math]\displaystyle{ f }[/math]的超稳定不动点对应的参数；

(2) 从[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]可以计算出它的超稳定不动点[math]\displaystyle{ \hat{\mu_2} }[/math]对应的参数；

(3) 对[math]\displaystyle{ f^{(2)} }[/math]进行尺度缩放和上下左右翻转：[math]\displaystyle{ f^{(2)}(\hat{\mu_2},x)\rightarrow -\alpha f^{(2)}(\hat{\mu_2},-\frac{x}{\alpha}) }[/math]（其中[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]为一个常数，将从重整化方程的求解过程中确定它的值）。


或者，可以简单地把上述3个步骤写为：

[math]\displaystyle{ R(f)= -\alpha f^{(2)}(\hat{\mu_2},-\frac{x}{\alpha}) }[/math]


于是从一个函数[math]\displaystyle{ f_1(\hat{\mu_1},x) }[/math]出发，不停地运用变换R，就能得到一个函数序列：

[math]\displaystyle{ f_1(\hat{\mu_1},x)\rightarrow f_2(\hat{\mu_2},x)\rightarrow f_3(\hat{\mu_3},x)\cdot\cdot\cdot }[/math]


其中任意一项可以写成：

[math]\displaystyle{ f_{n+1}(\hat{\mu_{n+1}},x)=R(f_n(\hat{\mu_n},x)) }[/math]


在用重整化的方法研究迭代函数的时候，又得到了一个迭代序列，只不过这里面被反复迭代的对象已经不再是数了，而是变成了迭代函数本身。于是，一切就升级了。假设，这一函数的迭代过程也存在着一个不动点，注意这个不动点不是数，而是一个函数，记为:

[math]\displaystyle{ g(\mu,x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(\hat{\mu_{n}},x) }[/math]


那么，它应该满足：

[math]\displaystyle{ g(\mu,x)=R(g(\mu,x)) }[/math]


再把R具体的定义带进去，就有：

[math]\displaystyle{ g(\mu,x)=-\alpha g(\mu,g(\mu,-\frac{x}{\alpha})) }[/math]


于是，得到了一个函数方程。它是重整化的不动点方程。对这个方程的求解其他需要求解的量。


重整化方程求解

本文不打算对重整化方程的求解进行详细地讨论，仅展示结论。如果把所有经过重整化方程迭代而收敛到同一个点的函数集合记为一个普适类，就可以解释不同的函数形式也具有相同的费根鲍姆常数的原因。同时将R变换在不动点附近进行泰勒级数展开，并保留线性项，我们就可以计算出费根鲍姆常数[math]\displaystyle{ \delta }[/math]和[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]。因此，整个问题就都得到了解答。具体求解可以参考重整化这个词条的方程求解部分。

参见

相关链接

参考文献

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