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第102行： + − In 1767, Leonhard Euler found three families of periodic solutions in which the three masses are collinear at each instant. See Euler's three-body problem. − 1767年， 莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler提出了三个周期解系列，其中三个质量在每个瞬间共线。+ − 1772年，拉格朗日 Lagrange找到了一系列解，其中三个质量在每个瞬间形成一个等边三角形。这些解决方案与欧拉的共线解一起构成了三体问题的中心配置。这些解决方案对于任何质量比均有效，并且质量沿开普勒椭圆形运动。这四个族是唯一有明确解析公式的已知解决方案。在圆形受限三体问题的特殊情况下，这些解决方案在与原边一起旋转的框架中观察时，变为称为L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>, L<sub>4</sub>和L<sub>5</sub>，并且叫做拉格朗日点，其中L<sub>3</sub>, L<sub>4</sub>是拉格朗日的对称解的实例。 − 1893年，迈塞尔提出了现在所说的毕达哥拉斯三体问题：将比例为3：4：5的三个质量置于3：4：5直角三角形的顶点处。布鲁 Burrau在1913年进一步研究了这个问题。1967年，维克多·塞贝赫利 Victor Szebehely和 C、 弗雷德里克·彼得斯 C. Frederick Peters利用数值积分理论建立了这个问题的最终逃逸模型，同时找到了附近的周期解。 − + − + + + + − + + − In 2013, physicists Milovan Šuvakov and Veljko Dmitrašinović at the Institute of Physics in Belgrade discovered 13 new families of solutions for the equal-mass zero-angular-momentum three-body problem. − + − In 2015, physicist Ana Hudomal discovered 14 new families of solutions for the equal-mass zero-angular-momentum three-body problem. − In 2017, researchers Xiaoming Li and Shijun Liao found 669 new periodic orbits of the equal-mass zero-angular-momentum three-body problem.[17] This was followed in 2018 by an additional 1223 new solutions for a zero-momentum system of unequal masses.[18] − + − In 2018, Li and Liao reported 234 solutions to the unequal-mass "free-fall" three body problem.[19] The free fall formulation of the three body problem starts with all three bodies at rest. Because of this, the masses in a free-fall configuration do not orbit in a closed "loop", but travel forwards and backwards along an open "track". + − 2018年，李晓明 Li 和 廖世俊 Liao 提出了234个不等质量“自由落体”三体问题的解。三体问题的自由落体公式从所有三个静止的物体开始。正因为如此，质量在一个自由落体配置不在一个闭合的“循环”轨道上运行，而是沿着一个开放的“轨道”向前和向后运行。 − Using a computer, the problem may be solved to arbitrarily high precision using numerical integration although high precision requires a large amount of CPU time. In 2019, Breen et al. announced a fast neural network solver, trained using a numerical integrator.[20]+ − 尽管高精度需要大量的CPU时间，但是通过计算机可以使用数值积分可以得到问题的任意高精度解。在2019年，布林 Breen等人。提出了一种快速的神经网络求解器，使用数字积分器对其进行训练。+
→特殊的求解方法
==特殊的求解方法==
==特殊的求解方法==
1767年， 莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler提出了三个周期解系列，其中三个质量在每个瞬间共线。
1772年，拉格朗日 Lagrange找到了一系列解，其中三个质量在每个瞬间形成一个等边三角形。这些解决方案与欧拉的共线解一起构成了三体问题的中心配置。这些解决方案对于任何质量比均有效，并且质量沿开普勒椭圆形运动。这四个族是唯一有明确解析公式的已知解决方案。在圆形受限三体问题的特殊情况下，这些解决方案在与原边一起旋转的框架中观察时，变为称为L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>, L<sub>4</sub>和L<sub>5</sub>，并且叫做拉格朗日点，其中L<sub>3</sub>, L<sub>4</sub>是拉格朗日的对称解的实例。
在1892年至1899年的工作中，亨利·波因加 Henri Poincaré建立了无穷有限三体问题的周期解，以及将这些解法继续推广到一般三体问题的技巧。
在1892年至1899年的工作中，亨利·波因加 Henri Poincaré建立了无穷有限三体问题的周期解，以及将这些解法继续推广到一般三体问题的技巧。
20世纪70年代，米歇尔·赫农 Michel Hénon和 罗杰A.布鲁克 Roger A. Broucke各自找到了一套解决方案，这些解决方案构成了同一系列解决方案的一部分: 布鲁克-赫农-哈德吉德梅特里奥
1893年，迈塞尔提出了现在所说的毕达哥拉斯三体问题：将比例为3：4：5的三个质量置于3：4：5直角三角形的顶点处。布鲁 Burrau<ref name="Burrau">{{Cite journal |author1=Burrau |title=Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems|journal=Astronomische Nachrichten |volume=195 |issue=6 |pages=113–118 |date=1913 |bibcode=1913AN....195..113B |doi=10.1002/asna.19131950602|url=https://zenodo.org/record/1424886}}</ref>在1913年进一步研究了这个问题。1967年，维克多·塞贝赫利 Victor Szebehely和 C、 弗雷德里克·彼得斯 C. Frederick Peters利用数值积分理论建立了这个问题的最终逃逸模型，同时找到了附近的周期解。<ref>{{cite journal |last1=Victor Szebehely |last2=C. Frederick Peters |title=Complete Solution of a General Problem of Three Bodies |journal=Astronomical Journal |volume=72 |pages=876 |date=1967 |doi=10.1086/110355 |bibcode=1967AJ.....72..876S }}</ref>
Broucke–Henon–Hadjidemetriou族。在这个家族中，这三个物体都具有相同的质量，可以表现出逆行和直行两种形式。在布鲁克的一些解中，两个物体遵循同样的路径。
20世纪70年代，米歇尔·赫农 Michel Hénon和 罗杰A.布鲁克 Roger A. Broucke各自找到了一套解决方案，这些解决方案构成了同一系列解决方案的一部分: 布鲁克-赫农-哈德吉德梅特里奥 Broucke–Henon–Hadjidemetriou族。在这个家族中，这三个物体都具有相同的质量，可以表现出逆行和直行两种形式。在布鲁克的一些解中，两个物体遵循同样的路径。<ref name="TBG">{{cite web |author1=Šuvakov, M. |author2=Dmitrašinović, V. |title=Three-body Gallery |url=http://suki.ipb.ac.rs/3body/ |access-date=12 August 2015}}</ref>
[[File:Three body problem figure-8 orbit animation.gif|400px|thumb|An animation of the figure-8 solution to the three-body problem over a single period T ≃ 6.3259.<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = −'''r'''<sub>3</sub>(0) = (−0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (−0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>]]
1993年，[[圣塔菲研究所]]的物理学家克里斯摩尔 Cris Moore提出了一种零角动量解，该解适用于三个相等质量围绕一个八字形运动。这种方法在2000年由数学家'''阿兰·契纳 Alain Chenciner'''和'''理查德·蒙哥马利 Richard Montgomery'''证明。在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但有人认为不太可能发生这种情况，因为稳定性的范围小。例如，1993年，圣达菲研究所的物理学家克里斯·摩尔在数字上发现了一个零角动量解，该解的三个相等质量围绕一个八字形运动。[12]它的正式存在后来在2000年由数学家Alain Chenciner和Richard Montgomery 证明。[13] [14]在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但是，由于稳定性的范围小，因此不太可能发生这种情况。例如，二元-二元散射事件导标号-8轨道的概率估计为1%的一小部分。
1993年，[[圣塔菲研究所]]的物理学家克里斯摩尔 Cris Moore提出了一种零角动量解，该解适用于三个相等质量围绕一个八字形运动。<ref>{{citation | last = Moore | first = Cristopher | bibcode = 1993PhRvL..70.3675M | doi = 10.1103/PhysRevLett.70.3675 | issue = 24 | journal = Physical Review Letters | pages = 3675–3679 | pmid = 10053934 | title = Braids in classical dynamics | url = http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf | volume = 70 | year = 1993}}</ref>这种方法在2000年由数学家阿兰·契纳 Alain Chenciner和理查德·蒙哥马利 Richard Montgomery证明。<ref>{{cite journal|author=Chenciner, Alain|author2=Montgomery, Richard|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=152|issue=3|year=2000|pages=881–902|doi=10.2307/2661357|arxiv=math/0011268| jstor=2661357| bibcode=2000math.....11268C}}</ref><ref>{{citation | last = Montgomery | first = Richard | volume = 48 | journal = Notices of the American Mathematical Society | pages = 471–481 | title = A new solution to the three-body problem | url = https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf | year = 2001}}</ref>在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但有人认为不太可能发生这种情况，因为稳定性的范围小。在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但是，由于稳定性的范围小，因此不太可能发生这种情况。例如，二元-二元散射事件导标号-8轨道的概率估计为1%的一小部分。<ref>{{citation | last = Heggie | first = Douglas C. | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x | volume = 318 | issue = 4 | journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
| pages = L61–L63 | title = A new outcome of binary–binary scattering | year = 2000| arxiv = astro-ph/9604016 | bibcode = 2000MNRAS.318L..61H }}</ref>
2013年，贝尔格莱德物理研究所的物理学家 米洛万·乌瓦科夫 Milovan uvakov 和 维利科·德米特拉·伊诺维 Veljko dmitra inovi 发现了等质量零角动量三体问题的13种新的解族。
2013年，贝尔格莱德物理研究所的物理学家 米洛万·乌瓦科夫 Milovan uvakov 和 维利科·德米特拉·伊诺维 Veljko dmitra inovi 发现了等质量零角动量三体问题的13种新的解族。<ref name=13solutions/><ref name="TBG"/>
2015年，物理学家 安娜·胡多马尔 Ana Hudomal 发现了14种等质量零角动量三体问题的新解族。
2015年，物理学家 安娜·胡多马尔 Ana Hudomal 发现了14种等质量零角动量三体问题的新解族。
2017年，研究人员 李晓明 Xiaoming Li 和 廖世俊 Shijun Liao发现了669个等质量零角动量三体问题的新周期轨道。2018年，不等质量的零动量系统又增加了1223个新解。
2017年，研究人员 李晓明 Xiaoming Li 和 廖世俊 Shijun Liao发现了669个等质量零角动量三体问题的新周期轨道。<ref>{{cite journal |last1=Li |first1=Xiaoming |last2=Liao |first2=Shijun |title=More than six hundreds new families of Newtonian periodic planar collisionless three-body orbits |journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy |date=December 2017 |volume=60 |issue=12 |pages=129511 |doi=10.1007/s11433-017-9078-5 |arxiv=1705.00527 |issn=1674-7348|bibcode=2017SCPMA..60l9511L |s2cid=84838204 }}</ref>2018年，不等质量的零动量系统又增加了1223个新解。<ref>{{cite document |last1=Li |first1=Xiaoming |last2=Jing |first2=Yipeng |last3=Liao |first3=Shijun |title=The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum |date=13 September 2017 |arxiv=1709.04775|doi=10.1093/pasj/psy057 }}</ref>
2018年，李晓明和廖世俊提出了234个不等质量“自由落体”三体问题的解。<ref>{{cite journal |last1=Li |first1=Xiaoming |last2=Liao |first2=Shijun |title=Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem |journal=New Astronomy |volume=70 |pages=22–26 |year=2019 |arxiv=1805.07980 |doi=10.1016/j.newast.2019.01.003 |bibcode=2019NewA...70...22L |s2cid=89615142 }}</ref>三体问题的自由落体公式从所有三个静止的物体开始。正因为如此，质量在一个自由落体配置不在一个闭合的“循环”轨道上运行，而是沿着一个开放的“轨道”向前和向后运行。
===数值方法===
===数值方法===
尽管高精度需要大量的CPU时间，但是通过计算机可以使用数值积分可以得到问题的任意高精度解。在2019年，布林 Breen等人。提出了一种快速的神经网络求解器，使用数字积分器对其进行训练。<ref>{{cite journal |last1=Li |first1=Xiaoming |last2=Liao |first2=Shijun |title=Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem |journal=New Astronomy |volume=70 |pages=22–26 |year=2019 |arxiv=1805.07980 |doi=10.1016/j.newast.2019.01.003 |bibcode=2019NewA...70...22L |s2cid=89615142 }}</ref>
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==历史==
==历史==